2.2  机械波

机械波与机械振动的关联

波动是机械振动的传播过程。介质中的体元（质元）都做振动，这些振动是有一定关联的，所有质元的振动就形成了波动。

 

知识点一  机械波的产生与传播

1. 机械波产生的条件

（1）波源

产生机械振动的振源

（2）弹性介质

传播机械振动的介质

2. 波的传播

一点的振动带动邻近的点振动，由近及远传播出去。

3. 波的分类

横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直

纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行

4. 波的几何描述

波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成的面(简称波面)

波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面即是波前。波前只有一个

波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的指向表示波的传播方向

平面波：波面为平面

球面波：波面为球面

柱面波：波面为柱面

知识点二  波长、周期、频率和波速

(1)波长：在同一条波线上，相位差为2p的质点间距离

(2)周期：传播一个波长距离所用的时间

(3)频率：周期的倒数

注意 : 频率和周期只决定于波源，和介质种类无关

(4)波速：单位时间内一定的振动状态所传播的距离，用u 表示，是描述振动状态在介质中传播快慢程度的物理量

注：波速 u 与质点的振动速度v 是不同的

波速u ：通常取决于介质的弹性模量和质量密度

固体中的横波与纵波

横波波速  g --切变模量

纵波波速  y—杨氏模量

气体、流体中纵波

b－体变模量

波速 波长 周期 频率 之间的关系

质点完成1次振动——波向前传播距离；

1秒内质点振动次——波向前推进个波长—— ；

（重点）

知识点三  平面简谐波的表达式（波函数）

平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐波动，在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同。

 

平面简谐行波，在无吸收的均匀无限介质中沿x 轴的正方向传播，波速为u 。取任意一条波线为x 轴，取o 作为x 轴的原点。o点处质点的振动表式为

波向右传播 → p点振动相位落后于o点，假设振动从o 传到p所需时间为δt。在t 时刻p点处质点的位移就是o 点处质点在 t – δt 时刻的位移，p点处质点在 t 时刻的位移为：

在t 时刻p点处质点的位移就是o 点处质点在 t – δt 时刻的位移，p点处质点在 t 时刻的位移为：

 

正向传播的波动表达式

波函数的意义

（1）x 一定。令x = x₁，则质点位移y仅是时间t 的函数

（2）t 一定。令t = t₁，则质点位移y仅是时间x的函数

（3）x,t 都变化。此时波函数表示波线上不同质点在不同时刻的位移

y为纵坐标，x为横坐标，在t₁ 时刻得到一条波形曲线（实线），在t₁＋dt 时刻得到另一条波形曲线（虚线）

（4）两个距离相隔l的质点的振动的相位差df 为2p，任意两点x₁、x₂的简谐振动相位差

（5）负方向传播的波函数

o 点简谐运动方程：

p 点的运动方程为：

（重点）

例题：一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数

求 (1)波的振幅、波长、周期及波速；(2)质点振动的最大速度

解：把波动方程改写成

与标准波函数比较

知识点四  波的能量、能流、能流密度

（1）波的能量

介质中的体积dv，其质量为dm (dm = rdv )。当波动传播到该体积元时，将具有动能de_k和弹性势能de_p

可以证明：

波的能量和振动能量一定要加以区别：波传播过程中任一体积元做的是简谐振动，但其动能和势能随时间同相变化，它们同时达到最大，同时达到最小；谐振系统的动能和势能相位差 ，（例如单摆）动能达到最大时，势能最小为零，势能达到最大时，动能最小为零。

（2）波的能量密度

在波动的介质中每一个体积元都承载着能量，介质中单位体积内所存储的能量称为能量密度。

取能量密度在一个周期内的平均值

（3）能流、能流密度

能流 : 在介质中垂直于波速方向取一面积s ，在单位时间内通过s 的能量

平均能流——单位时间内通过某一面积的平均能量，称为通过该面积的平均能流。也称为波的功率

平均能流密度——通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度

知识点五  惠更斯原理、波的衍射

（1）惠更斯原理

介质中波阵面（波前）上的每个点，都可看成是产生球面子波的波源；在其后的任一时刻，这些子波的包络面构成新的波阵面。

 

（2）波的衍射

波在传播过程中，如果遇到障碍物时，波线发生弯曲并绕过障碍物的现象。

相对于波长而言，障碍物越大，衍射现象越不明显，障碍物越小，衍射现象越明显

知识点六  波的叠加原理、波的干涉、驻波

（1）波的叠加原理

有几列波同时在媒质中传播时，它们的传播特性（波长、频率、波速、波形）不会因其它波的存在而发生影响。在相遇区域，合振动是分振动的叠加。

（2）波的干涉

两列振动方向相同，频率相同，位相差恒定的波，在同一介质中传播，在相遇时会出现介质中有些质点的振动始终加强，有些质点的振动始终减弱的现象，这种现象称为波的干涉。能产生干涉现象的波称为相干波，它们的波源称为相干波源

设s₁,s₂处是两相干波源，它们的振动表达式分别为

分别在p点引起的振动的方程为

p点合振动的方程为

p点合振动的振幅

 

干涉加强和减弱的条件

a=a₁+ a₂  合成后振幅增大，干涉加强，又叫相长干涉（重点）

                     合成后振幅减小，干涉减弱，又叫相消干涉（重点）

干涉加强和减弱的条件

（3）驻波

两列振幅相同的相干波,在同一直线上沿相反方向传播叠加而成的波称为驻波。它是干涉现象的一种特例

两列波的波函数分别可以写作

合成波

合成波

驻波的特征

 ①驻波的特征是没有振动状态(即位相)的传播; 波线上各点在振动时,波形驻定不动,因而没有能量的传播

②在驻波的表达式中    为驻波的振幅，它随x变化（重点）

这些点的振幅最大，称为波腹

波节与波腹之间的其余各点，以介于0~2a之间的不同振幅，越靠近波节的质点，振幅越小，越靠近波腹的振幅越大

（3）驻波

驻波的特征（重点）

③相邻波腹或者相邻波节之间的距离为半波长

④从质点振动相位上来看，相邻两波节之间各质点的振动是同位相的，而一个波节两侧的各质点的振动是反位相的。

 

④在一个波节两侧的质点同时沿着相反方向到达最大位移，又同时达到平衡位置，但振动速度方向是相反的。

 

④在驻波形成后，能量(动能和势能)在波节和波腹之间来回传递，无能量的定向传播

（4）半波损失

波在两种不同的媒介中传播时，我们把媒介的密度和波速的乘积 较大的媒介称为波密媒质，较小的称为波疏媒质。当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质而在界面上反射时，在反射点处，反射波的相位与入射波的相位相反，或者从相位差的角度，有的相位差π。

由于在波的传播方向相距为半个波长的相位差也是 π ，因而形象的称反射时的 π相位的突变为半波损

固定端反射和自由端反射

当入射波入射至介质1和介质2交界面上的某一固定点，形成驻波的波节，说明入射波与反射波在该点处相位差为π。反射波在该固定端有半波损失。而当入射波入射至界面上某点时，形成波腹，说明入射波与反射波位相相同，称为自由端反射。

知识点七  多普勒效应

多普勒效应：当波源s 或观察者r 相对于介质运动时, 观察者所接收的频率 n_r 不等于波源振动频率 n_s 的现象。

接收的频率 n_r 与波源振动频率 n_s 的计算等式。

方向规定：波源、观测者的运动发生在二者连线上。若波源的频率为ν₀, 波在介质中传播速度为u,观测者相对介质运动的速度为v_r (按近波源为正,背离波源为负) ,波源、相对介质的运动速度为v_s (接近观测者为正,背离观测者为负) ;观测者接收到的频率为ν^’。

知识点八  声波、超声波、次声波

波源在弹性介质中所激起的纵波的频率,在20hz到20000hz之间,就能引起人的听觉。在这频率范围内的振动称为声振动,由声振动所激起的纵波称为声波。频率高于20000hz的机械波叫做超声波。频率低于20hz的机械波叫做次声波。声波是机械波，机械波的一般规律在这里均适用。

声强与声强级

声强是声波的平均能流密度，即单位时间内，通过垂直于声波传播方向的单位面积的声能量。

通常将i ₀= 10^-12w/m²作为测定声强的标准，由此可以确定声音的强度相对值。

声音强度为i的声强级定义为 ：

单位为bel（贝尔）。                       

若采用分贝（db），声强级公式为