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4.2 运动学

4.2.1 点的运动

4.2.2 刚体的基本运动

运动学概述

运动学主要研究物体的机械运动规律。物体的运动规律主要包括运动方程（描述物体在参考系中的几何位置随时间变化关系的表达式）、运动轨迹（物体在空间所经过的路线）、速度和加速度，研究这些内容的部分又称为运动学；研究运动状态的变化与受外力之间的关系的部分又称为动力学。

4.2.1点的运动

1、运动方程

　　此式即为点在已知轨迹时的运动方程。这种研究点的运动规律的方法称为自然法。显然，采用自然法的前提是已知点的运动轨迹。

2、速度

　　速度是描述点运动快慢和运动方向的物理量，速度是矢量，其单位是米／秒（）。

点沿已知轨迹运动时，设其的弧坐标变化量为。则其在内平均速度的大小为：

在时的平均速度就是点的瞬时速度，即

上式表明，点的等于其运动方程对时间t的一阶导数，其方向沿轨迹在该点的切线方向。

3、加速度

　　加速度是描述点的速度大小和方向变化快慢的物理量，加速度也是矢量，其单位为:米／秒^２（）。

　　当点作曲线运动时，其速度不但大小变化，而且方向也变化，因此，点的加速度就包括两个分量：一个描述速度大小的变化，其方向沿轨迹在该点的切线方向，称为切向加速度，用a_t表示；另一个描述速度方向的变化，其方向沿轨迹在该点的法线方向，指向曲率中心，称为法向加速度，用a_n表示。

　　可以推导：点的切向加速度大小等于速度对时间的一阶导数或弧坐标对时间的二阶导数；点的法向加速度大小等于速度的平方除以轨迹在该点处的曲率半径。即

显然，点的全加速度等于其切向加速度与其法向加速度的矢量和其大小和方向为：

式中，q表示a与x轴正向的夹角。

例题如图为一摇杆滑道机构。滑块ｍ可同时在摇杆ｏａ的滑槽中和半径为r的固定圆弧滑道中滑动。已知，开始时ｏａ处于水平位置，j＝wt（w为常数）。求滑块ｍ的运动方程、速度和加速度。

解：(1)以滑块ｍ为研究对象。由于ｍ在固定圆弧滑道内滑动，因此其运动轨迹是以ｏ₁为圆心、ｒ为半径的圆弧。

　(2)用自然法研究ｍ的运动规律。选ｍ的初始位置ｍ₀为弧坐标原点，正负如图所示。由图中的几何关系可知，ｍ点在任意瞬时的弧坐标为：

此即ｍ点的运动方程。

(3)求ｍ点的速度和加速度。

　　速度：其方向垂直于ｏ₁ｍ，指向弧坐标的正向。

加速度：

其方向与相同，即沿ｍｏ₁指向ｏ₁。

4、直角坐标法研究点的运动

点作曲线运动时，若其运动轨迹未知，可用直角坐标法研究其运动规律。

　（1）运动方程

在点ｍ的运动平面内建立直角坐标系ｏxy，则点ｍ的位置可由坐标x、y来描述，而点ｍ的位置又随时间而连续变化，因此坐标x、y均是时间t的单值连续函数，即

此即点运动方程的直角坐标式。在上式中若消去时间t，则可得到点的轨迹方程：

（2）速度

　　设在瞬时t，点ｍ的位置为（x，y），经过时间dt后，运动到（x'，y'）点，如图所示。在时间dt 内ｍ点的位移为ｍｍ'，则其平均速度为：

　　其瞬时速度为：

　　将位移ｍｍ'向x、y轴分别投影，可得速度在x、y轴投影：

　　上式表明，速度在直角坐标轴上的投影分别等于该点位置的相应坐标对时间的一阶导数。

　　求出速度的投影后，即可求得速度的大小和方向：

　　式中，a表示v与x轴正向的夹角，其具体指向可由、的正负判定。

（3）加速度

　　仿照求速度的方法，可得加速度在x、y轴的投影：

　　全加速度的大小和方向分别为：

　　式中，q表示a与x轴正向的夹角，其具体指向可由a_x、a_y的正负判定。

4.2.2、刚体基本运动

1、刚体的平动

在刚体的运动过程中，若其上任意一条直线始终与其初始位置保持平行，这种运动称为刚体的平行移动，简称平动。刚体的平动在工程实际中是十分常见的，如列车车箱的运动、平行双曲柄机构中连杆的运动等。

2、刚体的定轴转动

在刚体运动过程中，若其体内或其延伸部分有一条直线始终保持不动，而其余各点均绕此直线作圆周运动，刚体的这种运动称为刚体绕定轴转动，简称定轴转动或转动。固定不动的直线叫转轴。转动刚体的运动规律包括转动方程、角速度、角加速度。

（1）转动方程

如图所示，刚体绕ｚ轴转动时，为了确定刚体在转动过程中的位置，先过ｚ轴做一与地面固连在一起的固定平面ⅰ，然后再过z轴做一与转动刚体固连的动平面 ⅱ。这样，就可以用动平面 ii与固定平面 i之间的夹角φ来确定刚体转动时的位置。φ称为转角，是代数量，其正负表示刚体的转向。通常规定：从ｚ轴正向看去，刚体逆时针转动时，φ取“＋”；刚体顺针转动时，φ取“－”。转角j的单位为弧度（rad）。