5.2轴向拉伸与压缩

【内容提要】

材料力学主要研究构件在外力作用下的变形、受力与破坏、失效的规律。为设计既安全可靠又经济合理的构件，提供有关强度、刚度与稳定性分析的基本理论与方法。

【重点、难点】

重点考察基本概念，掌握截面法求轴力、作轴力图的方法，截面上应力的计算。

【内容讲解】

知识点一、轴向拉伸与压缩的力学模型

轴向拉压杆的力学模型如下图5—2—1所示。

轴向拉伸与压缩是杆件受力或变形的一种最基本的形式。

受力特征  作用于等直杆两端的外力或其合力的作用线沿杆件的轴线，一对大小相等、矢向相反。

变形特征   受力后杆件沿其轴向方向均匀伸长(缩短)即杆件任意两横截面沿杆件轴向方向产生相对的平行移动。

拉压杆  以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向受力杆。作用线沿杆件轴向的载荷，称为轴向载荷

知识点二、轴力 轴力图

㈠ 轴力

拉压杆横截面上的内力，其作用线必是与杆轴重合，称为轴力。用n_表示。是拉压杆横截面上唯一的内力分量。

轴力n符号规定  拉力为正，压力为负。

根据截面法和轴力n正负号规定，可得计算拉压杆轴力n的法则：横截面上的轴力n，在数值上等于该截面的左侧(或右侧)杆上所有轴向外力的代数和。

无论左侧或右侧杆上，方向背离截面的轴向外力均取正值：反之则取负值。

 (二)轴力图

表示沿杆件轴向各横截面上轴力变化规律的图线。称为轴力图或n图。以x轴为横坐标平行于杆轴线，表示横截面位置，以n轴为纵坐标，表示相应截面上的轴力值。

[例5－2－1]画出图5－2－3中直杆的轴力图。

[解]  用截面1—1、2－2、3－3将杆截开，取脱离体如图所示。各截面的轴力n₁、n₂、n₃均假定为拉力。由静力平衡方程∑x=0分别求得：

其中负号表示轴力为压力。

知识点三、拉压杆横截上、斜截面上的应力

(一) 拉压杆横截上的应力

分布规律  轴向拉压杆横截面上的应力垂直于截面，为正应力。且正应力在整个横截面上均匀分布，如图5－2－4所示。

 

正应力公式                           

式中  n为轴力(n)，a为横截面面积(㎡)。 应力单位  n／㎡即pa。

(二)拉压杆斜截面上的应力

斜截面上的应力均匀分布，如图5－2－5，

其总应力及应力分量为

式中  α—由横截面外法线转至斜截面外法线的夹角，以逆时针转动为正；—斜截面mm的截面积；—横截面上的正应力。

拉应力为正，压应力为负。　以其对脱离体内一点产生顺时针力矩时为正，反之为负。

轴向拉压杆中最大正应力发生在α＝０度的横截面上，最小正应力发生在α＝90°的纵截面上，其值分别为

最大剪应力发生在α=±４5°斜截面上，最小剪应力发生在α=0度的横截面和α=９0°的纵截面上，其值分别为

知识点四、材料拉压时力学性能  强度条件

（一）许用应力

材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安全系数求得。

塑性材料   

脆性材料

式中：σ_s为屈服极限，σ_b为抗拉强度，n_s，n_b为安全系数。　

（二）强度条件

构件的最大工作应力不得超过材料的许用应力。轴向拉压杆的强度条件为

强度计算的三类问题：

强度校核：

截面设计a≥n_max/[σ]

确定许可荷载：n_max≤［σ］a

根据平衡条件，由n_max计算［p］。

知识点五、轴向拉压变形轴向拉压应变能

当杆件承受轴向载荷后，其轴向与横向尺寸均发生变化，杆件沿轴向方向的变形称为轴向变形或纵向变形；垂直于轴向方向的变形称为横向变形。与此同时，杆件因变形而贮存的能量，称为应变能。

(一)轴向变形与胡克定律

试验表明：轴向拉伸时，轴向伸长，横向尺寸减小；轴向压缩时，轴向缩短，横向尺寸增大，即横向线应变与轴向线应变恒为异号。且在比例极限内，横向线应变与轴向线应变成正比。比例系数用 表示，称为泊松比。它是一个常数，其值随材料而异，由试验测定。
材料的弹性模量e、泊松比v与剪变模量g之间存在如下关系：

当已知任意两个弹性常数，即可由上式确定第三个弹性常数，可见各向同性材料只有两个独立的弹性常数。

(三)轴向拉压应变能

应变能在外力作用下，杆件发生变形，力在相应的位移上作功，同时在杆内贮存的能量称为应变能。用w表示外力功，用u表示相应应变能。在线弹性范围内，在静载荷作用下，杆内应变能等于外力功

轴向拉压应变能：

 

【例题1】等直杆承受轴向载荷如图，其相应轴力图为（   ）。

a. (a)     b. (b)     c. (c) d. (d)

答案:a

 

 

 

 

【例题5】在相距2m的ab两点之间，水平地悬挂一根直径d=1mm的钢型在中点c逐渐增加荷载p。设钢丝在断裂前服从虎克定律，e=2x 1o⁵mpa，在伸长率达到0.5%时拉断，则断裂时钢丝内的应力和c点的位移分别为(   )

 

 

 

答案：b

a．26.5     
b.  51     
c.  63.6      
d.  47.1

答案:b