5.6  弯曲内力

【内容提要】①弯曲内力部分应掌握对称截面梁平面弯曲的特征，梁的内力的产生，弯矩、剪力的正负号规定，作剪力图和弯矩图的方法；掌握 、v、m之间的微分关系，熟练掌握各种受力情况下v、m图的特征，掌握用简便法计算指定截面上v、m的方法。

②弯曲应力部分应明确弯曲正应力公式的应用条件，掌握横截面上正应力的分布规律，掌握中性轴为对称轴时或为非对称轴时正应力强度的计算。熟悉常见截面剪应力的分布规律，熟悉剪应力公式的应用，掌握剪应力强度条件的应用。了解梁的合理截面形状，熟悉提高梁强度的措施。了解弯曲中心的概念，熟悉常见开口薄壁杆件的弯曲中心。

③弯曲变形部分应熟悉弯矩与曲率的关系、确定梁的挠度方程和转角方程的条件即挠曲线近似微分方程、边界条件与连续条件。掌握积分法求梁的位移的步骤与方法，正确地写出梁的边界条件与连续条件，掌握求梁的位移的叠加法。熟悉梁的弯曲应变能的计算和应用卡氏第二定理求梁的位移。

【重点、难点】弯曲内力部分要求能熟练的作 图；弯曲应力部分重点掌握正应力和剪应力最大的危险截面的确定，梁受拉侧和受压侧的判断，焊接工字型截面梁三类危险点的确定；弯曲变形部分重点是给定梁的边界条件和连续条件的正确写法和用叠加法求梁的位移的灵活运用。

5.6.1  平面弯曲的概念

【内容讲解】

弯曲变形是杆件的基本变形之一。以弯曲为主要变形的杆件通常称为梁。

弯曲变形特征  任意两横截面绕垂直杆轴线的轴作相对转动，同时杆的轴线也弯成曲线。

平面弯曲  荷载作用面(外力偶作用面或横向力与梁轴线组成的平面)与弯曲平面(即梁轴线弯曲后所在平面)相平行或重合的弯曲。

产生平面弯曲的条件：

(一)梁具有纵对称面时，只要外力(横向力或外力偶)都作用在此纵对称面内。

(二)非对称截面梁

纯弯曲时，只要外力偶作用在与梁的形心主惯性平面(即梁的轴线与其横截面的形心主惯性轴所构成的平面)平行的平面内。

横力弯曲时，横向力必须通过横截面的弯曲中心并在与梁的形心主惯性平面平行的平面内。

5.6.2  梁横截面上的内力分量——剪力与弯矩

（一）剪力与弯矩

剪力  梁横截面上切向分布内力的合力，称为剪力，以v表示。

弯矩  梁横截面上法向分布内力形成的合力偶矩，称为弯矩，以m表示。

剪力与弯矩的符号  考虑梁微段dx，使右侧截面对左侧截面产生向下相对错动的剪力为正，反之为负；使微段产生凹向上的弯曲变形的弯矩为正，反之为负。

由截面法可知：

横截面上的剪力，其数值等于该截面左侧(或右侧)梁上所有外力在横截面方向的投影代数和；且左侧梁上向上的外力或右侧梁上向下的外力引起正剪力，反之则引起负剪力。

横截面上的弯矩，其数值等于该截面左侧(或右侧)梁上所有外力对该截面形心的力矩代数和；且向上外力均引起正弯矩，左侧梁上顺时针转向的外力偶及右侧梁上逆时针转向的外力偶引起正弯矩，反之则产生负弯矩。

（二）剪力方程与弯矩方程

剪力方程  表示沿杆轴各横截面上剪力随截面位置变化的函数，称为剪力方程，表示为

             v=v(x)

弯矩方程  表示沿杆轴各横截面上弯矩随截面位置变化的函数，称为弯矩方程，表示为

             m=m(x)

（三）剪力图与弯矩图

剪力图  表示沿杆轴各横截面剪力随截面位置变化的图线，称为剪力图。

弯矩图  表示沿杆轴各横截面上弯矩随截面位置变化的图线，称为弯矩图。

5.6.3  荷载集度与剪力、弯矩间的关系及应用

（一）q、v、m间的微分关系

设荷载集度q(x)为截面位置x的连续函数、且规定以向上为正，则有

（二）应用

1．校核剪力图、弯矩图的正确性

根据一阶导数的几何意义，式(5－6—1)和式(5－6－2)表明剪力图上某点的切线斜率等于梁上相应点处的荷载集度，弯矩图上某点的切线斜率等于梁上相应截面上的剪力。

由式(5—6—3)的几何意义可根据m(x)对x二阶导数的正负，定出m(x)图的凹向；若q(x)>0，则m图为上凸的曲线；若q(x)<0，则m图为下凸的曲线。若q(x)=0，则m图为直线。

2．利用微分关系作剪力图和弯矩图

由式(5—6—1)可得

即截面扫上的剪力与截面a上的剪力之差等于梁上ab间荷载集度q(x)图的面积，但两截面之间必须无集中外力作用。

同理由式(5－6—2)可得

即截b上的弯矩与截面a上的弯矩之差等于梁上ab间剪力图的面积，但两截面之间必须无集中力偶作用。

于是由式(5—6—1)、(5—6－2)，根据梁上已知的荷载集度，判定剪力、弯矩图的图线形状、凹向等，而由式(5—6—4)、  (5—6—5)确定控制截面的剪力、弯矩值，即可绘制剪力、弯矩图。

特殊截面上的剪力、弯矩值

(一)在集中力作用的截面处，v图有突变，m图形成尖角。突变值等于集中力的大小，突变方向与集中力作用方向一致。

 (二)在集中力偶作用处，v图无变化，但m图有突变。其突变值等于该力偶之矩，突变方向看该力偶对后半段梁的影响，即该力偶对后半段梁为产生正弯矩，则向正方向突变，否则反之。

现将上节和本节中有关弯矩、剪力与荷载间的关系以及剪力图和弯矩图的一些特征汇总整理为表5－6－1，以供参考。