5.7弯曲应力

一、弯曲正应力  正应力强度条件

（一）纯弯曲

梁的横截面上只有弯矩而无剪力时的弯曲，称为纯弯曲。

（二）中性层与中性轴

中性层  杆件弯曲变形时既不伸长也不缩短的一层。

中性轴  中性层与横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的连线。

中性轴位置  当杆件发生平面弯曲，且处于线弹性范围时，中性轴通过横截面形心，且垂直于荷载作用平面。

中性层的曲率  杆件发生平面弯曲时，中性层(或杆轴)的曲率与弯矩间的关系为

式中 ρ为变形后中性层(或杆轴)的曲率半径；ei₂为杆的抗弯刚度，轴z为横截面的 中性轴。

（三）平面弯曲杆件横截面上的正应力

分布规律  正应力的大小与该点至中性轴的垂直距离成正比，中性轴一侧为拉应力，  另一侧为压应力，如图5—7—1(a)。

式中  m为所求截面的弯矩，i_z为截面对中性轴的惯性矩，w_z为抗弯截面系数。  w_z是一个只与横截面的形状及尺寸有关的几何量。对于矩形截面：

对于圆形截面：

其余w_z按式w_z＝i_z/y_max计算。

讨论：1.公式适用于线弹性范围、且材料在拉伸和压缩时弹性模量相等情况。

2.在纯弯曲时，横截面在弯曲变形后保持平面，公式为 精确解；横力弯曲时，由于剪应力的存在，横截面发生翘曲，但精确研究指出，工程实际中的梁，只要跨度与截面高度之比l／h>5，纯弯曲时的正应力公式仍适用。

（四）梁的正应力强度条件

强度条件  梁的最大工作正应力不得超过材料的许用正应力，即

注意，当梁内σ_tmax≠σ_cmax，且材料的[σ_t]≠[σ_c]时，梁的拉伸与压缩强度均应得到满足。

二、弯曲剪应力  剪应力强度条件

（一）矩形截面梁的剪应力

两个假设：

1．剪应力方向与截面的侧边平行。

2．沿截面宽度剪应力均匀分布(见图5—7—2)。

计算公式

 

式中  v为横截面上的剪力，b为横截面的宽度，i_z为整个横截面对中性轴的惯性    矩，s_z^*为横截面上距中性轴为y处横线一侧的部分截面对中性轴的静矩。

最大剪应力  发生在中性轴处

（二）其他常用截面图形的最大剪应力

工字型截面

式中  d为腹板厚度，

工字型钢中，i_z/  可查型钢表。

圆形截面

环形截面

最大剪应力均发生在中性轴上。

（三）剪应力强度条件

梁的最大工作剪应力不得超过材料的许用剪应力，即

式中 v_max为全梁的最大剪力； 为中性轴一边的横截面面积对中性轴的静矩；b为 横截面在中性轴处的宽度；i_z为整个横截面对中性轴的惯矩。

三、梁的合理截面

梁的强度通常是由横截面上的正应力控制的。由弯曲正应力强度条件 ，可知，在截面积a一定的条件下，截面图形的抗弯截面系数愈大，梁的承载能力就愈大，故截面就愈合理。因此就w_z／a而言，对工字形、矩形和圆形三种形状的截面，工字形最为合理，矩形次之，圆形最差。

此外对于[σ_t]=[σ_c]的塑性材料，一般采用对称于中性轴的截面，使截面上、下边缘的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力。对于[σ_t]≠[σ_c]的脆性材料，一般采用不对称于中性轴的截面如t形、门形等，使最大拉应力σ_tmax和最大压应力σ_cmax一同时达到[σ_t] 和[σ_c]，如图5—7—3所示。

四、弯曲中心的概念

横向力作用下，梁分别在两个形心主惯性平面xy和xz内弯曲时，横截面上剪力v_y和v_z作用线的交点，称为截面的弯曲中心，也称为剪切中心。

当梁上的横向力不通过截面的弯曲中心时，梁除了发生弯曲变形外还要发生扭转变形。

弯曲中心是截面几何性质之一，仅与截面的几何形状有关，而与荷载大小和材料性质无关。

若截面具有一对称轴，则弯曲中心必在截面的对称轴上。若截面具有两个对称轴，其交点即为弯曲中心。t形、l形等狭长矩形组成的截面，两个狭长矩形中线的交点即为截 面的弯曲中心。

[例2]  图5-7-5所示两梁材料相同，当两梁各对应截面转角相等时，试问两梁横截面上最大正应力之比为多少?