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5.9应力状态分析和强度理论

主要内容：斜截面上的应力；二向应力状态的解析分析和应力圆。三向应力简介。

知识点一:应力状态概述(了解)

1．应力状态

过构件上一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态

2．单向拉伸时斜截面上的应力

横截面上的正应力

斜截面上的应力

斜截面上的正应力和切应力为

可以得出

时

过a点取一个单元体，如果单元体的某个面上只有正应力，而无剪应力，则此平面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。

主单元体若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体称为主单元体。三个主应力中有一个不为零，称为单向应力状态。三个主应力中有两个不为零，称为二向应力状态。三个主应力中都不为零，称为三向应力状态。主单元体三个主平面上的主应力按代数值的大小排列，即为。

知识点二:平面应力解析法(掌握)

1.任意斜截面上的应力

在基本单元体上取任一截面位置，截面的法线。

在外法线和切线上列平衡方程

根据剪应力互等定理，，并考虑到下列三角关系

，

简化两个平衡方程，得

2．极值应力

将正应力公式对取导数，得

若时，能使导数，则

上式有两个解：即和。在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。且绝对值小的角度所对应平面为最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。求得最大或最小正应力为

代入剪力公式，为零。这就是说，正应力为最大或最小所在的平面，就是主平面。所以，主应力就是最大或最小的正应力。

将切应力公式对求导，令

若时，能使导数，则在所确定的截面上，剪应力取得极值。通过求导可得

求得剪应力的最大值和最小值是：

与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似，剪应力的极值与所在两个平面方位的对应关系是：若，则绝对值较小的对应最大剪应力所在的平面。

3．主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系

与之间的关系为

这表明最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为。

知识点三：平面应力应力圆法（熟悉）

1．应力圆方程

将公式中的削掉，得

由上式确定的以和为变量的圆，这个圆称作应力圆。圆心的横坐标为，纵坐标为零，圆的半径为。

2．应力圆的画法

建立应力坐标系（注意选好比例尺）

在坐标系内画出点和

与轴的交点c便是圆心

以c为圆心，以ad为半径画圆——应力圆。

3．单元体与应力圆的对应关系

1）圆上一点坐标等于微体一个截面应力值

2）圆上两点所夹圆心角等于两截面法线夹角的两倍

3）对应夹角转向相同

4．在应力圆上标出极值应力

知识点四：三向应力状态（一般知识点）

1．三个主应力

2.三向应力圆的画法

由作应力圆，决定了平行于平面上的应力

3．单元体正应力的极值为

，

最大的剪应力极值为

知识点五：广义虎克定律（了解）

1．单拉下的应力—应变关系

，

2．复杂状态下的应力— 应变关系

三向应力状态等三个主应力，可看作是三组单向应力的组合。对于应变，可求出单向应力引起的应变，然后叠加可得

3．体积胡克定律

单元体变形后的体积为

体积改变为

其中为体积模量，是三个主应力的平均值。为体积胡克定律。

知识点六：强度理论（了解）

1. 最大拉应力理论（第一强度理论）

无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破坏拉应力数值。

－构件危险点的最大拉应力

－极限拉应力，由单拉实验测得

2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论）

无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。

－构件危险点的最大伸长线应变

－极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得

3. 最大切应力理论（第三强度理论）

无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。

－构件危险点的最大切应力

－极限切应力，由单向拉伸实验测得

4. 形状改变比能理论（第四强度理论）

无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。

－构件危险点的形状改变比能

－形状改变比能的极限值，由单拉实验测得