5.10组合变形

【内容提要】
组合变形的一般分析方法，斜弯曲的分析方法，掌握有两根对称轴、四个角点的截面(如矩形、工字形截面)最大正应力的计算。掌握拉(压)一弯组合变形的分析方法，对于截面有两根对称轴、四个角点的杆，掌握其最大正应力的计算。掌握偏心拉伸(或压缩)的分析方法，偏心拉(压)经过简化后，可归结为拉伸(或压缩)与弯曲的组合。掌握弯-扭组合变形下杆横截面上的应力计算，并用相应的强度理论对危险点进行强度计算。

【重点、难点】
(1)各种基本变形组合时的分析方法；(2)对于有两根对称轴、四个角点的截面杆，在斜弯曲、拉(压)-弯曲、偏心拉(压)时最大正应力计算；(3)用强度理论解决弯-扭组合变形的强度计算问题。

【内容讲解】

知识点一: 组合变形的概念(了解)

　一、组合变形的概念

　　前面研究了构件在基本变形时的强度和刚度计算。但是工程中许多构件在外力作用下往往产生两种或两种以上的基本变形，这种变形称为组合变形。机器中的传动轴工作时产生弯曲和扭转变形（图1）等。 本章主要讨论弯曲与拉伸（压缩）、弯曲与扭转两种组合变形的强度计算和应用。

二、组合变形实例

图2弯扭组合变形	图3拉弯组合变形	图4拉扭组合变形	图5压弯组合变形

　　三、组合变形的分析方法

　　杆件在组合变形下的强度计算，一般可采用叠加原理。计算时首先通过力的分解或平移，将载荷简化为符合基本变形外力作用条件的静力等效力系；然后在变形较小且材料服从虎克定律的条件下，计算每种基本变形各自产生的应力和变形；再进行叠加，即得原载荷作用下的应力和变形；最后根据危险点的应力状态，建立强度条件。

知识点二:弯曲与拉伸（压缩）的组合变形 (掌握)

 一、斜拉伸（压缩）

 如图a所示矩形悬臂梁，一端固定，一端自由，在自由端作用一力ｆ。设力ｆ位于梁纵向对称面内，作用线与梁的轴线成α角，则该悬臂梁受到斜拉伸。 计算简图b如图所示。

 

1．外力分析

 将力ｆ沿ｘ、ｙ轴分解得：

轴向拉力ｆ_ｘ使梁产生轴向拉伸变形，横向力ｆ_ｙ产生弯曲变形，因此梁在ｆ力作用下的变形为拉伸与曲组合变形。

 2．内力分析

在ｆ_ｘ的单独作用下,梁上各截面的轴向力，在ｆ_ｙ单独作用下，梁的弯矩。画出轴向拉伸时杆件的轴力图和弯曲时的弯矩图 （图c、d），可见梁的固定端右侧载面上的内力最大，故该截面为危险截面。

3．应力分析

在轴向力ｆ_x作用下，梁的横向截面上产生均匀分布的拉伸正应力，其值为： 。式中ａ为危险截面的面积。

在横向力f_y的作用下，使截面产生沿截面高度呈线性分布的弯曲正应力。截面上、下边缘处的弯曲正应力分别为最大拉应力和最大压应力，其值为：

　

1．外力分析  将力ｆ沿ｘ、ｙ轴分解得： 　　　　  轴向拉力ｆｘ使梁产生轴向拉伸变形，横向力ｆｙ产生弯曲变形，因此梁在ｆ力作用下的变形为拉伸与曲组合变形。  2．内力分析 在ｆｘ的单独作用下,梁上各截面的轴向力，在ｆｙ单独作用下，梁的弯矩。画出轴向拉伸时杆件的轴力图和弯曲时的弯矩图 （图c、d），可见梁的固定端右侧载面上的内力最大，故该截面为危险截面。                                                   3．应力分析 在轴向力ｆx作用下，梁的横向截面上产生均匀分布的拉伸正应力，其值为： 。式中ａ为危险截面的面积。  在横向力fy的作用下，使截面产生沿截面高度呈线性分布的弯曲正应力。截面上、下边缘处的弯曲正应力分别为最大拉应力和最大压应力，其值为： 　　　　　  式中ｗ是危险截面的抗弯截面模量，ｆx为拉力时取正值，ｆx为压力时取负值。在ｆx和fy同时作用下，危险截面上的压力等于拉伸正应力与弯曲正应力进行叠加 （图e）。

  4．强度条件

 由式(14-2)知，固定端下边缘（受拉边）与上边缘（受压边）处的各点是危险点。要使杆件有足够的强度，就应使σ_lmax和σ_ymax都不超过其许用应力。故拉弯（或压弯）组合变形时，杆件的强度条件为：

　　式中[]、[]分别为材料的许用拉应力和许用压应力。

二、偏心拉伸（压缩）

如果构件所受的外力平行于构件的轴线，但不通过横截面的形心，这时构件受到偏心拉伸（压缩）。例如钻床立柱（图14-5）受到的钻孔进刀力ｐ，不通过立柱的横截面形心，此时立柱承受偏心载荷。压力ｐ作用线到截面形心的距离称为偏心距ｅ。下面以钻床立柱为例，说明偏心拉伸强度的计算。

例14-2：已知图14.2.3中所示钻床立柱。钻床立柱受到的钻孔进刀力ｐ，不通过立柱的横截面形心，此时立柱承受偏心载荷。已知钻孔力ｐ＝15kn，偏心距ｅ＝400mm，ｄ＝125mm，立柱材料为铸铁，许用拉应力[]＝35mpa，许用压应力[]＝120mpa。试校核该立柱的强度是否足够。

 

解：（1）外力分析  将力ｐ平移到截面形心处，得到一个加于主柱轴线的力ｐ和一个力偶m。，kn。

（2）变形分析  力ｐ与r使立柱产生轴向拉伸，力偶m与m₀使立柱产生弯曲，所以立柱产生偏心拉伸。

（3）内力分析  画出立柱的轴力图和弯矩图。

轴力：kn     

弯矩：

（4）应力分析 

轴向拉伸在横截面上引起均匀拉应力mpa

弯曲变形在横截面上引起的弯曲正应力mpa

（5）强度条件  偏心拉伸（压缩）与斜拉伸（压缩）的强度条件相同。

因铸铁的抗压能力强，抗拉能力差，故校核截面上的拉应力即可。

叠加后截面上的最大拉应力为mpa<[]

所以，立柱的强度足够。

知识点三： 弯曲与扭转的组合变形（一般考点）

下面以如图a所示的圆轴ａｂ为例，讨论圆轴受弯曲与扭转的组合变形时的强度计算。其中轴的直径为d，长度为l，轮半径为r，在轮缘上作用有力ｐ。

1．外力分析  将ａｂ简化为ｂ端固定、ａ端自由的悬臂梁。将力ｐ向轮的中心a点简化，得到一横向力ｐ和一个力偶矩为m＝pr的力偶。横向力ｐ使轴产生弯曲，力偶使轴产生扭转。故该轴受到弯曲与扭转的组合变形。

2．内力分析  画出轴的弯矩图和扭矩图，如图14.3.1c、d所示。由图可看出，截面ｂ处的弯矩ｍ和扭矩ｍ_ｎ都为最大值（），故固定端ｂ为危险截面。

3．应力分析  危险截面ｂ上的应力分布如图14.3.1e所示。由图可见，在圆轴的危险截面上，ａ、ｂ两点处的弯曲正应力和扭转切应力同时达到最大值，，故两点为危险点。但σ_max在轴截面内，τ_max在横截面内，它们位于两个互相垂直的平面内，任一点的应力不能是两者简单的叠加，而是比较复杂的应力状态。

4．强度计算  在复杂应力状态下的强度条件应通过强度理论来建立。所谓强度理论，就是根据材料在基本变形下的破坏情况，所提出的材料在复杂应力状态下的破坏原因是由某一决定性因素引起的。强度理论有以脆性断裂破坏为标志和以屈服流动破坏为标志的两大类。以屈服破坏为标志的强度理论，有第三和第四强度理论。由于轴类构件一般用塑性材料制成，故常用第三和第四强度理论建立强度条件分别如下：

　　　　　　（14-3）

　　　　　　（14-4）

将代入式（14-3）和（14-4）,并注意圆截面的，可得

  

 

上两式分别表示圆轴在弯扭组合变形时，用内力表示的第三和第四强度理论的强度条件。式中ｗ_ｚ为危险截面上的抗弯截面模量，ｗ_ｎ为危险截面上的抗扭截面模量。