5.11压杆稳定

知识点一： 压杆稳定的概念（了解）

  在压力作用下的粗短杆，当应力达到屈服极限或强度极限时，将发生塑性变形或断裂。这种破坏是由于强度不足而引起的，只要压杆满足强度条件，就能保证安全工作。这个结论对粗短杆是正确的，但对于细长杆来说就不适用了。

例如，一根宽3cm，厚5mm，长30cm的矩形截面的木杆（图15.1.1），设其许用应力[σ]＝40mpa，按压缩强度条件计算，它的承载能力为kn。

   

例如，一根宽3cm，厚5mm，长30cm的矩形截面的木杆（图15.1.1），设其许用应力[σ]＝40mpa，按压缩强度条件计算，它的承载能力为kn。                                             实验发现，当杆长为100cm，则只需要30n的压力，杆就会变弯；压力若再增大，杆将产生显著的弯曲变形而失去工作能力。这说明细长压杆丧失工作能力，是由于它不能保持原来的直线形状而造成的。可见，细长压杆的承载能力不取决于它的压缩强度条件，而取决于它保持直线平衡状态的能力。压杆保持原有直线平衡状态的能力，称为压杆的稳定性；反之，压杆丧失直线平衡状态而被破坏的现象，称为丧失稳定或失稳。 　　工程中属于压杆稳定的例子很多，如：压缩机、蒸气机与内燃机中的连杆，螺旋千斤顶与车床中的走刀丝杆等。对这些压杆，必须保证它们具有足够的稳定性，否则会造成严重的事故。历史上就曾因压杆失稳而造成多次桥梁倒塌事故。因此研究压杆的稳定性是非常必要的。

 

图 压杆稳定的工程实例

设图ａ示细长压杆在力ｐ的作用下处于直线平衡状态，受外界（水平力ｑ）干扰后，杆经过若干次摆动，仍能回到原来的直线形状平衡位置（图ｂ），杆原来的直线形状平衡状态称为稳定平衡。若受外界干扰后，杆不能恢复到原来的直线形状而在弯曲形状下保持新的平衡（ｃ），则杆原来的直线形状的平衡状态称为非稳定平衡。压杆的稳定性问题，就是对受压杆件能否保持它原来的直线形状的平衡状态而言的。

细长压杆的直线平衡状态是否稳定，与轴向压力ｐ的大小有关。随着ｐ的逐渐增大，压杆就会由稳定平衡状态过渡到非稳定平衡状态。这时，轴向压力ｐ有个极限值，称为临界压力，简称为临界力，用符号ｐ_lj表示。实际上，临界力就是使压杆丧失稳定的最小轴向压力，掌握临界力的计算是解决压杆稳定性的关键。

知识点二： 临界力和临界应力（掌握）

一、临界力

当作用在杆上压力ｐ＝ｐ_lj时，压杆丧失稳定，由于干扰力的作用压杆将变弯。在杆的变形不大，杆内应力不超过材料的比例极限时，根据弯曲变形理论可以求出杆的临界力大小为

　　　　　　　　

上式称为欧拉公式。μ--与支承情况有关的长度系数，其值它随着压杆的约束条件不同而不同； 式表明，压杆的临界力ｐ_lj与其抗弯刚度成正比，与杆长ｌ的平方成反比。也就是说，压杆越细长，其临界力越小，压杆越容易失稳。又由于压杆总是容易在抗弯能力最小的纵向平面内失稳，临界力ｐ_lj与材质的种类、截面的形状和尺寸、杆件的长度和两端的支座情况等方面的因素有关。

二、临界应力

 将临界力ｐ_lj除以压杆的横截面面积ａ，则得到当压力达到临界值时压杆横截面上的应力，即临界应力，用表示，即

      　　　　　　 　       　　　　　　

式中，若令，可见ｉ是一个与截面形状、尺寸有关的长度，称为截面的惯性半径。代入上式得

　　　　　　　　　　　　　　　　

若令，则式（15-3）变为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 这就是计算压杆临界应力的公式。式中称为压杆的长细比，又称为压杆的柔度，它是一个无量纲的量。可以看出，柔度λ越大，杆件越细长，而其临界应力越低；也就是说，压杆越细长越容易失稳。反之，λ越小。则杆件就不太容易失稳，其临界应力就比较大。所以柔度λ是压杆稳定计算中的一个重要参数。

三、欧拉公式的应用范围

因为欧拉公式是在材料服从虎克定律的条件下导出的，因此欧拉公式只能在压杆的临界应力σ_lj不超过材料的比例极限σ_p时才能应用。即

由此可求得对应于的柔度值λ_p为

　　　　　　　　　

例如，已知q235的弹性模量与比例极限分别为与，得                  　　　　　　    　　所以，用q235制成的杆件，只有其柔度时，才能应用欧拉公式。

四、经验公式

当压杆的柔度，也就是时，欧拉公式则不再适用，这时的临界应力值可用经验公式来确定。经验公式有直线公式和抛物线公式等。其中直线公式比较简单，应用方便，其形式为

式中，ａ、ｂ是与材料性质有关的常数，其单位为pa或mpa。表15-2给出了几种材料的ａ、ｂ和λ_p值。

上式也有一个适用范围。例如，对塑性材料制成的压杆，要求其临界应力不得超过材料的屈服极限σ_s，即

　　若把经验公式中的最小柔度极限值表示为λ_s，则

 综上所述，可以确定公式（15-6）适用的范围应是。由式（15-7）可以求出各种材料的λ_s值。如q235，其mpa，mpa，mpa，将这些值代入式（15-7）中，得。一些常用材料的λ_s值也列于表15－2中。

一般将柔度介于λ_p和λ_s之间的压杆称为中柔度杆或中长杆。柔度小于λ_s的压杆称为小柔度杆或短粗杆。

 根据以上分析，可将各类柔度压杆临界应力计算归纳如下：

 

 1、对于细长杆，用欧拉公式计算；

 2、对于中长杆，用经验公式计算；

 3、对于短粗杆，用压缩强度公式计算。

知识点三：压杆的稳定性校核与提高压杆稳定性措施（一般考点）

一、压杆的稳定校核

为了保证压杆正常工作，不发生失稳现象，必须使压杆所承受的轴向压力p小于压杆的临界压力p_lj。为安全起见，还应使压杆具有足够的稳定性，即要考虑稳定的安全系数。因此，压杆的稳定条件可表示为

式中  ｐ―压杆的工作压力；

         [s]―规定的稳定安全系数。

考虑到压杆的初弯曲、压力的偏心、材料的不均匀性和支座的缺陷等方面的因素，一般[s]规定得比强度安全系数要大。在静载作用下，一般钢类的[s]=1.8～3.0；铸铁的[s]=4.5～5.5；木材的[s]=2.5～3.5。

 在工程计算中，常把上式改写成如下形式

                               

　　式中  s－压杆的工作稳定安全系数。

在机械设计中，压杆的稳定计算常常是根据构件的工作需要或其它方面的要求，初步决定压杆的截面尺寸，然后再校核其稳定性。压杆稳定校核的具体步骤是：

１．根据压杆的支承情况和实际尺寸计算出各个弯曲平面内的柔度λ，从而得到最大柔度λ_max；

２．根据λ_max确定该压杆的临界应力σ_lj的计算公式，计算临界应力和临界力；

３．根据压杆稳定条件校核压杆的稳定性。

例15-3：如图15.3.1是一钢杆结构托架。已知ab为空心杆，外径d₁=50mm，内径d₂=40mm。在cd杆的d端挂一重物p=10kn。又知a=1500mm，b=500mm，α=30°。 ab杆是用q235制成，弹性模量e=200gpa，规定安全系数=3。cd杆的直径d=70mm，许用应力[σ]=160mpa。试对各杆进行强度核算。

　　　　　

图15.3.1

 

解：（１）取cd杆作研究对象，画受力图并求力ｎ。

        kn

（２）核算cd杆的强度  cd杆上的力ｎ，其垂直分力使cd杆产生弯曲，水平分力

使cb段产生拉伸，应力分别为

弯曲应力 

mpa

拉伸应力 

 mpa

总的拉应力 

 mpa<[σ]

强度足够。

（３）核算ab杆的强度

①ab杆的受力如图所示。但该杆是用抗压强度核算还是检验其稳定性，应首先计算其柔度。

     mm

     m

ab杆两端为铰联接，故取μ=1，则柔度为

    

因ab杆为细长杆，应用欧拉公式校核其稳定性。

②校核ab杆的稳定性

      kn

故ab杆稳定。

二、提高压杆稳定性的措施

提高压杆的稳定性，也就是要提高压杆的临界力和临界应力。而影响临界力的因素，主要有压杆的材料性能、两端的约束情况、长度和截面形状、尺寸等，所以要想提高压杆稳定性，可从以上方面入手。常用的方法有以下几种。

１．合理选择材料

由公式知，临界力p_lj和临界应力σ_lj与弹性模量ｅ成正比。选用ｅ值较大的材料，可以提高细长杆的临界力。但由于各种钢的ｅ值差别不大，用高强度钢对p_lj的提高不显著，所以细长压杆用普通钢制造，既经济又合理。

对中长杆，由经验公式可知，系数ａ是与材料有关的常数，所以中长杆的临界应力σ_lj与材料强度有关。强度越高的材料，其临界应力越高。因此对这类压杆可用高强度钢制造以提高稳定性。

２．减小柔度λ

对细长杆和中长杆，由公式可知，柔度越小，临界应力越大，压杆的稳定性越好。为了减小柔度，可采用以下措施：（１）减小压杆长度。在结构允许的条件下，尽可能减小杆长，可明显提高压杆的临界力，增加压杆的稳定性。如结构不允许，也可在压杆中间增加铰支座来达到目的；（２）加强杆端约束的刚性，以减小μ值；（３）增大惯性半径ｉ。对于在两个纵向平面内杆端约束相同的压杆，尽量采用圆环形或空心、正方形截面，使。对于在两个纵向平面内杆端约束不同的压杆，应使压杆横截面的惯性半径，而使其柔度，从而达到在两个方向上抵抗失稳能力相近的目的。