6.2流体动力学基础

知识点一:流场的基本概念

一、迹线

某一质点在某一时段内的运动轨迹线。

图中烟火的轨迹为迹线。 

二、流线

1、流线的定义

表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。

如图为流线谱中显示的流线形状。  

2、流线的作法

在流场中任取一点，绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u₁，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u₂…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。

3、流线的性质

a.同一时刻的不同流线，不能相交。

因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。

b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。

因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。

c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。

因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。

4、流线的方程

在流线上某点取微元长度dl（不代表位移），dl在各坐标轴上的投影分别为dx、dy、dz，则：      

或          流线的微分方程

迹线与流线的比较：

概念	定          义	备           注
流 线	流线是表示流体流动趋势的一条曲线，在同一瞬时线上各质点的速度向量都与其相切，它描述了流场中不同质点在同一时刻的运动情况。	流线方程为：     时间t为参变量。
迹 线	迹线是指某一质点在某一时段内的运动轨迹，它描述流场中同一质点在不同时刻的运动情况。	迹线方程为： 式中时间t为自变量。

三、恒定流和非恒定流

1、恒定流

流体质点的运动要素只是坐标的函数，与时间无关。――恒定流动

过流场中某固定点所作的流线，不随时间而改变——流线与迹线重合

2、非恒定流

流体质点的运动要素，既是坐标的函数，又是时间的函数。――非恒定流动

质点的速度、压强、加速度中至少有一个随时间而变化。

迹线与流线不一定重合

注意：

在定常流动情况下，流线的位置不随时间而变，且与迹线重合。

在非定常流动情况下，流线的位置随时间而变；流线与迹线不重合。

四、流管、流束、总流

流管：在流场中取任一封闭曲线（不是流线），通过该封闭曲线的每一点作流线，这些流线所组成的管状空间。

管内外的流体质点不能交流。

流束：流管中的流体。

微元流束：流管的横截面积为微元面积时的流束。

总流：由无限多微元流束所组成的总的流束。

五、过水（流）断面

与某一流束中各条流线相垂直的截面，称为此流束的过水断面。

即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流动方向的横断面，如图1-1，2-2断面。

六、流速

  （1）点速u：某一空间位置处的流体质点的速度。

  （2）均速v：同一过水断面上，各点流速u对断面a的算术平均值。

   微元流束的过水断面上，可以中心处的流速作为各点速度的平均值。

七、流量  q

   单位时间内通过某流束过水断面的流体体积。   米³/秒，升/秒

   微元流束      dq=uda

   总流          q=∫_qdq＝∫_auda

               

知识点二：连续性方程

1、微元流束的连续性方程

微元流束上两个过水断面da₁、da₂，相应的速度分别为u₁、u₂，密度分别为ρ₁、ρ₂；dt时间内，经da₁流入的质量为dm₁＝ρ₁u₁da₁dt，经da₂流出的质量为dm₂＝ρ₂u₂da₂dt，

对定常流动，根据质量守恒定律：      

ρ₁u₁da₁dt＝ρ₂u₂da₂dt   →  ρ₁u₁da₁＝ρ₂u₂da₂

   对不可压缩流体ρ₁＝ρ₂ ，       u₁da₁＝u₂da₂   

得： dq₁=dq₂       

不可压缩流体定常流动微元流束的连续性方程

   意义：在同一时间内通过微元流束上任一过水断面的流量相等。

         ——流束段内的流体体积（质量）保持不变。

2、总流连续性方程

将ρ₁u₁da₁＝ρ₂u₂da₂进行积分：   ∫_a1ρ₁u₁da₁＝∫_a2ρ₂u₂da₂

根据 ，   得：ρ_1mv₁a₁＝ρ_2mv₂a₂      

ρ_1m、ρ_2m——断面1、2上流体的平均密度。

ρ_1mq₁＝ρ_2mq₂             总流连续性方程

对不可压缩流体       q₁=q₂          或  

物理意义：对于保证连续流动的不可压缩流体，过水断面面积与断面平均流速成反比，即流线密集的地方流速大 ，而流线疏展的地方流速小。

问题：

1、一变直径管段，a断面直径是b断面直径的2倍，则b断面的流速是a断面流速的4倍。      对

2、变直径管的直径d₁=320mm，d₂=160mm，流速υ₁=1.5m/s，υ₂为：

a.3m/s；  b.4m/s； c.6m/s；   d.9m/s。   c.

知识点三：恒定总流能量方程

一、不可压缩无粘性流体伯努利方程

      

意义：无粘性流体沿流线运动时，其有关值的总和是沿流向不变的。

二、不可压缩有粘性流体伯努利方程

         

意义：粘性流体沿流线运动时，其有关值的总和是沿流向逐渐减少的。

各项的能量意义与几何意义：

	能量意义	几何意义
z	比位能—单位重量流体流经给定点时的位能	位置水头（位头）—流体质点流经给定点时所具有的位置高度
p/γ	比压能—单位重量流体流经给定点时的压能	压强水头（压头）—流体质点流经给定点时的压强高度
u2/2g	比动能—单位重量流体流经给定点时的动能	速度水头（速度头）—流体质点流经给定点时，因具有速度u，可向上自由喷射而能够到达的高度
h'l	能量损失—单位重量流体流动过程中损耗的机械能	损失水头

三、伯努利方程的能量意义：

（1）对无粘性流体   ，总比能  e₁=e₂

 单位重量无粘性流体沿流线（或微元流束）从位置1到位置2时：各项能量可互相转化，总和保持不变。

（2）对粘性流体  ,总比能 e₁=e₂+△e

单位重量粘性流体沿流线（或微元流束）从位置1到位置2时：各项能量可互相转化，总机械能也有损失。

伯努利方程的几何意义：

单位重量无粘性流体沿流线（或微元流束）从位置1到位置2时：各项水头可互相转化，总和保持不变。    总水头 h₁=h₂

单位重量粘性流体沿流线（或微元流束）从位置1到位置2时：各项水头不但可以互相转化，其总和也必然沿流向降低。 总水头  h₁=h₂+△h

伯努利方程的图解—水头线

水头线：沿程水头的变化曲线

总水头线：总水头h顶点的连线。 对应的变化曲线。

测压管水头线（静压水头线）：压强水头顶点的连线。对应的变化曲线。

对无粘性流体：h＝常数，总水头线为水平线。

测压管水头线为随过水断面改变而起伏的曲线。

对粘性流体：h≠常数，h₁=h₂+h^'_l，总水头线为沿流向向下倾斜的曲线。

测压管水头线为随过水断面改变而起伏的曲线。

注意：1.无粘性流体流动的总水头线为水平线； 

2.粘性流体流动的总水头线恒为下降曲线；

3.测压管水头线可升、可降、可水平。

4.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的速度水头。流体沿水头的变化情况:——水力坡度

四、总流伯努利方程应用条件：

（1）定常流动；

（2）不可压缩流体；

（3）质量力只有重力；

（4）所选取的两过水断面必须是缓变流断面，但两过水断面间可以是急变流。

（5）总流的流量沿程不变。

（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。

（7）式中各项均为单位重量流体的平均能（比能）。

五、列伯努利方程解题： 

注意与连续性方程的联合使用。

例1某工厂自高位水池引出一条供水管路ab如图3-31所示。已知：流量q＝0.034米³/秒；管径d＝15厘米；压力表读数p_b＝4.9牛/厘米²；高度h＝20米。问水流在管路ab中损失了若干水头？

解：选取水平基准面o－o，过水断面1－1、2－2。设单位重量的水自断面1－1沿管路ab流到b 点，则可列出伯努利方程：

因为：z₁＝h＝20米，z₂＝0，，

v₂＝q/a＝1.92米/秒

取α₁＝α₂＝1，v₁＝0

则：20 + 0 + 0 ＝ 0 + 5 + 1.92²/19.6 + h_l

故 h_l＝14.812（米）

例2：水深1.5m、水平截面积为3m×3m的水箱，箱底接一直径为200mm，长为2m的竖直管，在水箱进水量等于出水量情况下作恒定出流，略去水头损失，试求点2的压强。

解： 根据题意和图示，水流为恒定流；水箱表面，管子出口，管中点2所在断面，都是缓变流断面；符合总流伯努利方程应用条件。水流不可压缩，只受重力作用。  

基准面o-o取在管子出口断面3-3上，取α₂＝α₃＝1，写断面2-2和3-3的总流伯努利方程：

     

采用相对压强，则p₃＝0，同时v₂=v₃，

所以     p₂＝-9800 pa

其真空值为9800 pa 。  上式说明点2压强小于大气压强，其真空度为1m水柱，或绝对压强相当于10-1=9m 水柱。

知识点四：恒定总流的动量方程及其应用

    一、动量方程

动量定理：质量系的动量()对时间(t)的变化率，等于作用于该质点系的所有外力之矢量和，即：，如果以表示动量，则： 或

应用于不可压缩流体的定常流动中，对于过水断面1－1、2－2间的流体，可得：

， 式中：α₀₁、α₀₂—动量校正系数，一般取1。

   不可压缩流体的定常流动总流的动量方程

为作用于流体上所有外力（流束段1－2的重量、两过水断面上压力的合矢量、其它边界上受到的表面压力）的合力。

即：  

将各量投影到直角坐标轴上，得：

适用范围： 

（1）粘性流体、非粘性流体的不可压缩定常流动。             

（2）选择的两个过水断面应是缓变流过水断面，而过程可以不是缓变流。

（3）质量力只有重力             

（4）沿程流量不发生变化；

二、动量方程的应用

例题：如图所示，一个水平放置的水管在某处出现θ＝30^o的转弯，管径也从d₁＝0.3m渐变为d₂＝0.2m，当流量为q＝0.1m³/s时，测得大口径管段中心的表压为2.94×10⁴pa，试求为了固定弯管所需的外力。

【解】根据题意，图示的截面1－1的表压p₁’＝p₁－p_a＝2.94×10⁴pa，截面2－2的表压p₂’可根据伯努利方程求出。而固定弯管所需的外力，则可以利用总流的动量方程求出。

取如图所示的分离体，截面1－1和2－2的平均流速分别为

v₁=q/a₁=1.4147  m/s     v₂=q/a₂=3.1831  m/s

弯管水平放置，两截面中心高程相同，故

即 

总流的动量方程是              

由于弯管水平放置，因此我们只求水平面上的力。对于图示的分离体，x、y方向的动量方程是

     

    

代入数据，得： f_x＝1254 n ，  f_y＝557  n

   

α＝arc tgf_y/f_x=24^○

水流对弯管的作用力为1372牛，即固定弯管需1372牛的外力。