知识点三  向量

 

向量是特殊的矩阵，故向量的运算符合矩阵运算性质

向量的线性组合与线性表示

线性无关与线性相关

 

1)包含零向量的向量组必线性相关。

2)一个向量组中如果有部分向量线性相关，则整个向量组线性相关。

3)一个线性无关的向量组，其中任何部分向量组都线性无关。

4)一个线性相关的向量组，如呆每一个向量都删去同一序号的分量，得到一个维数较低的向量组，则新的向量组也线性相关。

5)一个线性无关的向量组，如果每一个向量在同一位置增加分量，得到维数更高的向量组，则新向量组也线性无关。

 

定义：向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩。

只含零向量的向量组的秩规定为0。

 

设a是m×n矩阵，将矩阵的每个行看作行向量，

矩阵的m个行向量构成一个向量组，该向量组的秩称为矩阵的行秩。

将矩阵的每个列看作列向量，矩阵的n个列向量构成一个向量组，该向量组的秩称为矩阵的列秩。

定理：矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩。

知识点四  线性方程组

1．线性方程组的概念

n元线性方程组

 

 

3．高斯消元法

解方程组的最基本的方法是高斯消元法。设n元线性方程组

所谓高斯消元法就是对线性方程组的增广矩阵施行矩阵的初等行变换，化作行阶梯形。

 

齐次线性方程组

 

 

(2)齐次线性方程组的解的性质与齐次线性方程组的解的结构

 

 

 

(2)非齐次线性方程组的解的性质与非齐次线性方程组的解的构造

 

知识点五  矩阵的特征值与特征向量

  

 

 

 

 

方阵的相似是矩阵之间的一种等价关系，他们有

1)反身性：每个方阵都和自己相似。

2)对称性：若a和b相似，则b和a也相似。

3)传递性：若a和b相似，b和c相似，则a和c也相似。

相似的矩阵还有许多非常有用的性质，如相似矩阵有相同的秩，相同的特征多项式，相同的特征值，相同的迹，相同的行列式，等。

3．方阵的相似对角化

定理：n阶矩阵a可与对角矩阵相似的充分必要条件是a有n个线性无关的特征向量。

定理：若n阶矩阵a有n个互不相等的特征值，则a必可相似对角化。

 

4．实对称矩阵的对角化

定理：实对称矩阵的特征值一定是实数。

定理：实对称矩阵对应不同特征值的特征向量正交。

定理：实对称矩阵一定和对角矩阵相似。

实对称矩阵的相似对角化有两种形式。它既可以和对角矩阵相似，也可以和对角矩阵既相似同时还合同。就是说，对于实对称矩阵a，总存在可逆矩阵p，使它和对角矩阵d相似：

 

或存在正交矩阵q，使它和对角矩阵 既相似又合同，

 

 

 

知识点六  二次型

3)矩阵表达式

2．矩阵的合同

合同有以下三个性质：

1)自反性：任意方阵a和自身合同。

2)对称性：若方阵b和a合同，则a和b也合同。

3)专递性：若方阵b和a合同，方阵c和b合同，则c和a合同。

合同作为n阶方阵之间的关系，是一种等价关系。

3．二次型的标准形

定义：形如

的二次型称为二次型的标准形。

化二次型为标准形的方法有正交变换法和配方法。其中正交变换法只能用于实二次型，不能用于复二次型。配方法可以用在实二次型，也可以用在复二次型。配方法实际上就是初等代数里的配平方。

用正交变换化实二次型为标准形的计算步骤：

1)写出二次型的矩阵a 。

2)求得矩阵a的特征值

3)求相应的特征向量。

4)将特征向量作施密特正交化，得到正交的特征向量。

5)将正交的特征向量单位化。

4．实二次型的惯性定理

定义：形如 

的二次型叫实二次型的规范形。

惯性定理：任意一个实系数二次型总可经过一个适当的可逆线性替换，化成规范形，规范形是惟一的。其中r是二次型的秩，p是二次型的正惯性指数，r -p是负惯性指数，2p-r是符号差。

在实二次型中，秩r和正惯性指数p是两个重要的不变量。秩r表示二次型通过可逆线性替换化成标准形时非零平方项的个数，正惯性指数表示在这些非零平方项中正项的个数。二次型的标准形是不唯一的，但是标准形中非零项的个数以及其中正项的个数却是唯一确定的。

5．实二次型的正定性

 

4)实对称阵a正定 a的所有特征值全是正数

 

则称i阶行列式

为矩阵a的i阶顺序主子式。

5)实对称阵a正定 a的各级顺序主子式全大于零。