行政能力测验

所谓容斥问题，简单来说就是利用集合的思想来处理的问题，通常的处理方法是借助文氏图来解决。然而，对于大多数考生而言，两个集合尚无问题，一旦上升到三个及其以上的集合，问题就出现了，基础不好的考生就很难在短时间内把图形弄清楚了。因此，我们对此作一个高度的总结，把常见题型概括为固定公式，以后遇到此类问题，直接套公式就行了。

一.两个集合

公式一：设选集合A1的有a1人，选集合A2的有a2人，两个集合都选的有n人，选择集合A或集合B的有x人，则：

x=a1+a2-n

例一：运动会上共有50人，依次编号1-50，编号为4的倍数的参加跳远，编号为6的倍数的参加跳高。问参加跳远或跳高的一共多少人?

解析：易得参加跳远共有12人，参加跳高共有8人。由于4和6的最小公倍数为12，所以既参加跳远有参加跳高的人员为12的倍数，共有4人。因此由公式一，参加跳远或跳高的一共

12+8-4=16(人)

公式二：设选择集合A或集合B的有x人，既不选择A又不选择B的有y人，总人数有s人，则：

s=x+y

例二：某班共有30人，其中有22人喜欢美术课，25人喜欢体育课，两种课程都喜欢的有18人。问两种课程都不喜欢的有几人?

解析：由公式一，喜欢美术课或者体育课的有

22+25-18=29(人)

又共有30人，所以由公式二，两种课程都不喜欢的有

30-29=1(人)

二.三个集合

公式三：设选集合A1的有a1人，选集合A2的有a2人，选择集合A3的有a3人，只选了两门的有m人，三门都选的有n人，至少选一门的有x人，一门都不选的有y人，共有s人，则：

① x=a1+a2+a3-m-2n

② s=x+y

例三：某考察团成员母语均为中文，其中有1人只会说母语，有10人会说英语，有6人会说法语，有4人会说西班牙语，有5人会说上述三种外语中的两种，有2人上述三种外语都会说。问该考察团共有多少人?

解析：由公式三①，至少会一种外语的有

10+6+4-5-2×2=11(人)

又一种外语都不会的只有1人，再由公式三②，该考察团共有

11+1=12(人)

公式四：设选集合A1的有a1人，选集合A2的有a2人，选择集合A3的有a3人，既选A又选B的有b1人，既选A又选C的有b2人，既选B又选C的有b3人，三门都选的有n人，至少选一门的有x人，一门都不选的有y人，共有s人，则：

① x=a1+a2+a3-b1-b2-b3+n

② s=x+y

例四：对39种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的有15种，含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7种，则三种维生素都含的有多少种?

解析：因为共有39种，三种维生素都不含的有7种，由公式四②，至少含一种维生素的有

39-7=32(种)

设三种维生素都含的有n种，则由公式四①

32=17+18+15-7-6-9+n

易得，n=4。所以，三种维生素都含的有4种。

三：极值问题

公式五：设选集合A1的有a1人，选集合A2的有a2人，……，选集合An的有an人，共有s人，则这n个集合都选的

① 至多有：min{a1,a2,……,an}(人)

② 至少有：a1+a2+……+an-(n-1)a0(人)

例五：某工厂一季度有80%人全勤，二季度有85%人全勤，三季度有90%人全勤，四季度有95%人全勤。问：全年全勤的人(1)至多占全厂人数的百分之几?(2)至少占全厂人数的百分之几?

解析：

(1)由公式五①，至多占

min{80%,85%,90%,95%}=80%

(2)注意到是4个集合，即n=4，由公式五②，至少占

80%+85%+90%+95%-(4-1) ×100%=50%

通过上述几个例题，考生们能够深刻地感受到，这种公式法在实战当中的强大之处。以后大家遇到此类容斥问题时，就不需要再复杂地画文氏图了，只需要分析清楚题目类型，再相应地套用公式即可。

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（责任编辑：msj）

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