中级经济师

二、数值型数据的整理与显示

上面介绍的品质数据的整理与图示方法，也都适用于对数值型数据的整理与显示。但数值型数据还有一些特定的整理和图示方法，并不适用于品质数据。

(一)数据的分组

数据分组就是根据统计研究的需要，将数据按照某种标准划分成不同的组别。分组后再计算出各组中出现的次数或频数，形成一张频数分布表。分组的方法有单变量值分组和组距分组两种。单变量值分组是把每一个变量值作为一组，这种分组方法通常只适合于离散变量且变量值较少的情况。在连续变量或变量值较多的情况下，通常采用组距分组。

组距分组是将全部变量值依次划分为若干个区间，并将这一区间的变量值作为一组。下面结合具体的例子说明分组的过程和频数分布表的编制过程。

例如，某高中一年级一班共有55名学生，高一语文考试中成绩分别为：

59 73 87 65 89 85 77 94 69 9 7

56 80 68 95 96 50 63 88 91 90

96 92 93 79 74 65 74 89 83 51

74 79 94 67 92 92 93 70 87 86

54 87 86 54 62 76 86 73 86 70

100 110 108 102 112

采用组距分组需要经过以下几个步骤：

第一步，确定分组组数。确定分组组数的要求是：第一，划分的组数，既不应太多也不应太少。组数过多，达不到通过分组压缩资料的目的;组数太少，将造成原始资料的信息丢失过多。第二，组数的确定：要尽量保证组间资料的差异性与组内资料的同质性。第三，采用的分组办法，要能够充分显示客观现象本身存在的状态。

关于统计分组组数问题，不少统计学家曾做过研究，并给出了经验公式。比较有代表性的是斯特基(H.A.Sturges)方法。计算公式为：

K为分组组数，Ⅳ为数据个数。

在本例中，，即应分为7组。

由于实际情况可能比较复杂，可根据数据的多少和特点及分析的要求，参考以上经验公式，灵活确定组数。

第二步，对原始资料进行排序。结果如下：

50 51 54 54 56 59 62 63 65 65

67 68 69 70 70 73 73 74 74 74

76 77 79 79 80 83 85 86 86 86

86 87 87 87 88 89 89 90 91 92

92 92 93 93 94 94 95 96 96 97

100 102 108 110 112

第三步，求极差。将最大的观察值与最小的观察值相减便得到极差(下一章还将专门介绍极差)。此例中，极差值为112-50=62。

第四步，确定各组组距。在实行等距分组的情况下，组距的确定办法为：

组距=极差/组数

根据上式计算出来的组距，可能带有小数，为了编表和计算方便，也是审美习惯使然，最好把它取成接近于能被5除尽的一个数。例如，根据公式计算出来的组距如果是5.4、3.8、8.7、0.4等，可以把组距定为5.5、5、10、0.5。本例中，组距=62/7=≈8.9，组距可取10。

用极差与组数相除确定组距的意义很明显，它表明分组组数给定的情况下，应取多大的组距才能覆盖全部数据。组距与组数成反比关系，组数越多，组距越小;组数越少，组距越大。

组距是每组观察值的最大差，即每组的上限值与下限值之间的差。用公式表示就是：

组距=某组的上限值-该组的下限值

第五步，确定组限。组限是组与组之间的界限，或者说是每组观察值变化的范围。组限有上限与下限之分，在组距分组中，一个组的最小值称为下限，最大值称为上限;上限与下限的差值称为组距;上限值与下限值的平均数称为组中值。组中值的代表性如何，取决于组中观察值的变化是否呈对称分布状态。组中值的一般计算方法为：

组中信= (上限值-下限值)/2

确定组限时应注意：第一，第一组的下限值应比最小的观察值小一点，最后一组的上限值应比最大的观察值大一点。第二，特别需要或不得已的情况除外，最好不要使用开口组。第三，组限应取得美观些，按数字偏好，组限值应能被5除尽，且一般要用整数表示。本例中，我们把第一组的下限值定为50，那么各组的组限依次为：

50~60，60~70，70～80，80~90，90～100，100～110，110~120。

第六步，确定各组观察值出现的频数。凡观察值落在某一区间的，就计发生一次，最后统计各组观察值发生的总次数。采用组距分组时，需要遵循“不重不漏’’的原则。‘‘不重，，是指一项观察值只能分在其中的某一组，不能在其他组重复出现;“不漏”是指组别能够穷尽，即在所分的全部组别中每项数据都能分在其中的某一组，不能遗漏。

为解决“不重”的问题，统计分组时习惯上规定“上组限不在内”，即当相邻两组的上下限重叠时，恰好等于某一组上限的观察值不算在本组内，而计算在下一组内。例如在本例中，70这一数值不计算在“60~70”这一组中，而计算在“70—80”这一组中。

第七步，制作频数分布表，并填上相关的内容，以及其他需要说明的事项。本例中的频数分布如表23—6所示

表23—6 频数分布表

(二)数值型数据的圈示

通过数据分组后形成的频数分布表，我们可以初步看出数据分布的一些特征和规律。如果我们进一步用图形来表示这一分布的结果，会更形象直观。显示分组数据频数分布特征的图形有直方图、折线图等，上面介绍的条形图、圆形图等也都适用于显示数值型数据。

1.直方图

直方图是用矩形的宽度和高度来表示频数分布的图形。在平面直角坐标中，我们用横轴表示数据分组，纵轴表示频数或频率，这样，各组与相应的频数就形成了一个矩形，即直方图。

例如根据表23—6中的组距分组数据绘制的直方图如图23—4所示

图23—4某班高一语文成绩分布的直方图

对于等距分组的数据，我们可以用矩形的高度直接表示频数的分布。如果是不等距分组数据，用矩形的高度来表示各组频数的分布就不再适用。这时，如果我们不是用矩形的皇竺!

是用矩形的面积来表示各组的频数分布，或根据频数密度来绘制直方图，就可以准确地表示各组数据分布的特征。实际上，无论是等距分组的数据还是不等距分组的数据，我们用矩形的面积或频数密度来表示各组的频数分布更为合适，因为这样可使直方图下的总面积等于1。比如在等距分组中，矩形的高度与各组的频数成比例，如果取矩形的宽度(各组组距)为一个单位,高度表示比例(即频率)，则直方图下的总面积等于1。在直方图中，我们实际上用矩形的面积表示各组的频数分布。

直方图与条形图不同，条形图是用条形的长度(横置时)表示各类别频数的多少，其宽度(表示类别)则是固定的;直方图是用面积表示各组频数的多少，矩形的高度表示每一组的频数或百分比，宽度则表示各组的组距，因此其高度与宽度均有意义。此外，由于分组数据具有连续性，直方图的各矩形通常是连续排列，而条形图则是分开排列。

2.折线图

折线图也称频数多边形图，它是在直方图的基础上，把直方图顶部的中点(即组中值)用直线连接起来，再把原来的直方图抹掉就是折线图。需要注意，折线图的两个终点要与横轴相交，具体的做法是将第一个矩形的顶部中点通过竖边中点(即该组频数一半的位置)连接到横轴，最后一个矩形顶部中点与其竖边中点连接到横轴。这样才会使折线图下所围成的面积与直方图的面积相等，从而使二者所表示的频数分布是一致的。例如，在图23-4的基础上绘制的折线图如图23-5所示。

图23—5某班高一语文成绩分布的折线图

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（责任编辑：中大编辑）