同等学力

1. 比较下列集合的基数大小并给出证明：A×A，P(A)，2→A，A→2.

解答与评分标准：

|A×A| = |2→A| = |A|2(2 分)，

|P(A)| = |A→2| = 2|A|(2 分)。

分情况讨论：

(1) A 为空集：注意A→2={空关系}，

|A×A| = |2→A| = 0 < |P(A)| = |A→2| = 1。(1 分)

(2) A 为有限集且|A|=1：

|A×A| = |2→A| = |A|2 = 1 < 2 = 2|A| = |P(A)| = |A→2| 。(1 分)

(3) A 为有限集且|A|=2：

|A×A| = |2→A| = |A|2 = 4 = 2|A| = |P(A)| = |A→2| 。(1 分)

(4) A 为有限集且|A|=3：

|A×A| = |2→A| = |A|2 =9 > 8 = 2|A| = |P(A)| = | A→2| 。(1 分)

(5) A 为有限集且|A|>4：

|A×A| = |2→A| = |A|2 < 2|A| = |P(A)| = |A→2| 。(1 分)

(6) A 为无限集：

|A×A| = |2→A| = |A|2 = |A| < 2|A|(康托定理)= |P(A)| = | A→2| (1 分)。

注(1)(2)(5)(6)结果相同，可合并。

2. 在一种计算机信息检索的模型中，一个文件是由一些关键字组成的，而一个倒排文件是由含有某个关键字的所有文件组成的。一次查询的输入是一个关键字，输出是这　　个关键字的倒排文件，一次查询的开销就是包含这个关键字的文件个数。多次查询就是查询一个关键字序列(其中可能有重复关键字)中的每个关键字，多次查 询的开销是 　　各次查询的开销之和，其中重复查询同一个关键字的开销之只计算一次。假设关键字和文件的个数都是有限的，试用集合论或图论的术语来描述这个模型，并给出上述斜体字　　概念的形式化定义。

解答与评分标准：

集合论：

文件集合 D={d1,d2,…,dn}，关键字集合K={k1,k2,…,km}，倒排文件集合

K’={k1’,k2’,…,km’ }与关键字集合K 一一对应。D 包含于P(K)，K’包含于

P(D)，ki 属于dj 当且仅当dj 属于ki’(4 分)。查询是从K 到P(D)的函数

Q：K→P(D)，查询k 是求Q(k)(2 分)，查询k 的开销是|Q(k)|(2 分)。

多次查询(s1,s2,…,st)就是求(Q(s1),Q(s2),…,Q(st))，多次查询的开销是对不

同的si 求|Q(si)|之和(2 分)。

图论：

二部图 G=，D 为文件集合，K 为关键字集合，E 为边集合，(d,k)是E 中的边当且仅当文件d 含有关键字k(4 分)。文件d 的内容就是d的相邻顶点集合(邻域)，倒排文　　件k 的内容就是k 的邻域，查询k 就是求k 的邻域(2 分)，查询k 的开销就是k 的度数(2 分)。多次查询就是求一组关键字的邻域，多次查询的开销就是这组关键字顶　　点的度数之和，重复关键字只计算一次(2 分)。

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（责任编辑：lqh）

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