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风险管理常用的概率统计知识

1.5.1基本概念

1.概率

概率是对不确定性事件进行描述的最有效的数学工具，是对不确定性事件发生可能性的一种度量。

不确定性事件是指，在相同的条件下重复一个行为或试验，所出现的结果有多种，但具体是哪种结果事前不可预知。

确定性事件是指，在相同的条件下重复同一行为或试验，出现的结果也是相同的。确定性事件的出现具有必然性，而不确定性事件的出现具有偶然性。

概率所描述的是偶然事件，是对未来发生的不确定性中的数量规律进行度量。

2.随机事件

在每次随机试验中可能出现，也可能不出现的结果成为随机事件。

随机事件由基本事件构成。基本事件是随机试验中不能再分解的最简单的随机事件。

【例题】

下列关于事件的说法，错误的是(C)。

A.概率描述的是偶然事件，是对未来发生的不确定性中的数量规律进行度量。

B.不确定性事件是指，在相同的条件下重复一个行为或试验，所出现的结果有多种，但具体是哪种结果事前不可预知。

C.确定性事件是指，在不同的条件下重复同一行为或试验，出现的结果也是相同的。

D.在每次随机试验中可能出现，也可能不出现的结果称为随机事件。

3.随机变量

随机变量就使用数值来表示随机事件的结果。

根据所给出的结果和对应到实数空间的函数取值范围，可以把随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。

(1)离散型随机变量的概率分布

离散型随机变量的一切可能值及与其取值相应的概率，称做离散型随机变量的概率分布，表示法有列举法或表格法。

①列举法

②表格法

可以通过重复试验发生的频率来定义离散型随机变量的概率。在相同条件下，重复进行n次试验，事件A发生m(m≤n)次，则称比值m/n为事件A发生的频率。频率m/n的这个稳定值p称为事件A的概率，记作P(A)=p。

(2)连续型随机变量的概率分布

连续型随机变量的概率分布通常使用累积概率分布或概率密度来定义。

无论是离散型随机变量还是连续型随机变量，都可以用一种统一的形式即分布函数来描述其概率特征。若X的分布函数F(x)已知，就能知道X落在任一区间(x1，x2]上的概率。

(3)随机变量的期望值和方差

期望值是随机变量的概率加权和。随机变量的方差描述了随机变量偏离其期望值的程度。方差是随机变量取值偏离期望值的概率加权和。

对离散型的随机变量，方差可以用求和式表示为：

对连续型的随机变量，方差可以通过定积分公式表示为：

【例题】

随机变量X的概率分布表如下：

X1410

P20%40%40%

则，随机变量X的期望是(A)。

A.5.8

B.6.0

C.4

D.4.8

标准差(或称为波动率)是随机变量方差的平方根，随机变量的标准差是对随机变量不确定性程度进行刻画的一种常用指标。

1.5.2常用统计分布

1.均匀分布

均匀分布的分布函数是一条斜线。

【例题】

随机变量X服从均匀分布U(-1，3)，则随机变量X的均值和方差分别是(C)。

A.1和2.33

B.2和1.33

C.1和1.33

D.2和2.33

2.二项分布

二项分布是描述只有两种可能结果的多次重复事件的离散型随机变量的概率分布。

二项分布的数学期望和方差：E(X)=mp，Var(X)=np(1-p)。

3.正态分布

正态随机变量X的观测值落在距均值的距离为2倍标准差范围内的概率约为0.95，而在距均值的距离为3倍标准差内的概率约为0.9973。

当μ=0，σ=1时，称正态分布为标准正态分布。

在风险计量的理论研究和实际应用中，正态分布起着特别重要的作用。实际中遇到的许多随机现象都服从或近似地服从正态分布。

【例题】

正态分布的图形特征是(A)。

A.中间高，两边低，左右对称

B.左高右低

C.右高左低

D.中间低，两边高，左右对称

【例题】

正态随机变量X的观测值落在距均值的距离为2倍标准差范围内的概率约为(B)。

A.68%

B.95%

C.32%

D.50%

风险管理的数理基础

1.6.1收益的计量

1.绝对收益

绝对收益是对投资成果的直接衡量，反映投资行为得到的增值部分的绝对量。

绝对收益=P-P0

最常用的两种相对收益计量方法是百分比收益率和对数收益率。

2.百分比收益率

百分比收益率是对期初投资额的一个单位化调整，即一个单位货币在给定投资周期的收益率。

百分比收益率只考虑了期初的投资额，没有考虑不同投资期限的影响。

背景知识：计算资产组合收益率

资产组合的百分比收益率等于各资产百分比收益率的加权平均。对于包含N种资产的投资组合，总资产的百分比收益率为：。

3.对数收益率

当复利是连续计算时，就得到对数收益率。对数收益率是两个时期资产价值取对数后的差额：

即资产多个时期的对数收益率等于其各时期对数收益率之和。

【例题】

下列关于收益计量的说法，正确的是(B)。

A.相对收益是对投资成果的直接衡量，反映投资行为得到的增值部分的绝对量。

B.资产多个时期的对数收益率等于其各时期对数收益率之和。

C.资产多个时期的百分比收益率等于其各时期百分比收益率之和。

D.百分比收益是绝对收益。

1.6.2风险的量化原理

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