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坡面滑行物体的摩擦角

课本上有这样一道题目：在斜面上端A处有一个物体自静止起滑下，滑至水平面C点停止，若物体与斜面、平面间的摩擦因数均为μ，A与C之间水平距离为S，物体开始下滑的高度AD=h，试证滑动摩擦因数μ=h/S。

这个题目的证明并不难，设斜面AB与水平面夹角为α，根据功能关系，物体克服摩擦力所做的功等于物体机械能的减少。即

mgh=F1·AB+F2·BC

F1、F2为摩擦力，分别等于μmgcosα和μmg，代入后可得

mgh=μmgcosα·AB+μmg·BC

∵ABcosα=DB，上式可以写作

h=μ(DB+BC) 　　式中DB+BC=S，

∴μ=h/S。

从这个问题引伸出去，我们连接直线Ac，令AC与DC间夹角为θ，则得到了一个新的摩擦角θ(图2)，这时同样有

μ=tanθ

这个结果与假定物体从A匀速沿AC滑动得到的结果是等效的。于是我们设想，如果坡面是由多段折线组成，物体从A点出发最终停止在E点，那么是否也只要将AE联结起来，量出它与水平面的夹角θ，就能得到摩擦因数呢?

可以看出，ABcosα=S1,CDcosβ=S3，DEcosδ=S4,根据功能关系，

mg(h1-h2)=F1AB+F2BC+F3CD+F4DE

同样能得到

μ=△h/S=tanθ。

因此在变速情况下也存在一种摩擦角，只要量出起点至终点连线与水平面之间夹角就能测定滑动摩擦因数。当然实际上用这个方法测定摩擦因数也有误差，因为在斜坡的转角处往往有冲击，有能量的损失，我们在计算时略去了这个因素。

有趣的是这种变速情况下的摩擦角有它的实用价值。例如对高山滑雪运动来说，知道了滑雪板与雪之间的滑动摩擦因数，也就是知道了摩擦角。运动员只要用一个量角器作观察仪器向山下观察，沿摩擦角θ所观察到的那一点就是他能不加任何动力而到达的终点。如果在直线MN的中间被一个高峰阻挡，那么他只能停止在峰的左侧P点，不可能超越这个山峰抵达N点。说到这里必然有人会问，如果P点斜坡的坡度很大，其倾角超过了最大静摩擦角。也就是说滑雪运动员在这一点停不住，那么他将滑至何处呢?我们可以在P点再画摩擦角θ，即直线Pq，他将停在q点。以此类推，如果q点还不能停住，则再向下画θ角。从这里可以看出，最终停止的点除了受滑动摩擦角制约之外，还受到该处最大静摩擦角的制约。

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（责任编辑：xy）

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