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杆件四种基本变形的公式及应用

1. 四种基本变形：

基本变形	截面几何性质	刚度	应力公式	变形公式	备注
拉伸与压缩	面积：A	抗拉(压)刚度 EA			注意变截面及变轴力的情况
剪切	面积：A	——		——	实用计算法
圆轴扭转	极惯性矩	抗扭刚度
纯弯曲	惯性矩	抗弯刚度			挠度y转角

2. 四种基本变形的刚度，都可以写成：

刚度 = 材料的物理常数×截面的几何性质

1)物理常数：

某种变形引起的正应力：抗拉(压)弹性模量E;

某种变形引起的剪应力：抗剪(扭)弹性模量G。

2)截面几何性质：

拉压和剪切：变形是截面的平移： 取截面面积 A;

扭转：各圆截面相对转动一角度或截面绕其形心转动：

取极惯性矩 ;

梁弯曲：各截面绕轴转动一角度：取对轴的惯性矩 。

3. 四种基本变形应力公式都可写成：

应力= 对扭转的最大应力：截面几何性质取抗扭截面模量

对弯曲的最大应力：截面几何性质取抗弯截面模量

4. 四种基本变形的变形公式，都可写成：

变形= 因剪切变形为实用计算方法，不考虑计算变形。

弯曲变形的曲率 ，一段长为 l 的纯弯曲梁有：

补充与说明：

1、关于“拉伸与压缩”

指简单拉伸与简单压缩，即拉力或压力与杆的轴线重合;若外荷载作用线不与轴线重合，就成为拉(压)与弯曲的组合变形问题;杆的压缩问题，要注意它的长细比 (柔度)。这里的简单压缩是指“小柔度压缩问题”。

2、关于“剪切”

实用性的强度计算法，作了剪应力在受剪截面上均匀分布的假设。要注意有不同的受剪截面：

a.单面受剪：

受剪面积是铆钉杆的横截面积;

b.双面受剪：

受剪面积有两个：考虑整体结构，受剪面积为2倍销钉截面积;运用截面法，外力一分为二，受剪面积为销钉截面积。

c.圆柱面受剪：

受剪面积以冲头直径d为直径，冲板厚度 t 为高的圆柱面面积。

3.关于扭转

表中公式只实用于圆形截面的直杆和空心圆轴。等直圆杆扭转的应力和变形计算公式可近似分析螺旋弹簧的应力和变形问题是应用杆件基本变形理论解决实际问题的很好例子。

4.关于纯弯曲

纯弯曲，在梁某段剪力 Q=0 时才发生，平面假设成立。

横力弯曲(剪切弯曲)可以视作剪切与纯弯曲的组合，因剪应力平行于截面，弯曲正应力垂直于截面，两者正交无直接联系，所以由纯弯曲推导出的正应力公式可以在剪切弯曲中使用。

5.关于横力弯曲时梁截面上剪应力的计算问题

为计算剪应力，作为初等理论的材料力学方法作了一些巧妙的假设和处理，在理解矩形截面梁剪应力公式时，要注意以下几点：

1) 无论作用于梁上的是集中力还是分布力，在梁的宽度上都是均匀分布的。故剪应力在宽度上不变，方向与荷载(剪力)平行。

2) 分析剪应力沿梁截面高度分布变化规律时，若仅在截面内，有 ，因 的函数形式未知，无法积分。但由剪应力互等定理，考虑微梁段左、右内力的平衡，可以得出：

剪应力在横截面上沿高度的变化规律就体现在静矩 上， 总是正的。

剪应力公式及其假设：

a.矩形截面

假设1：横截面上剪应力τ与矩形截面边界平行，与剪应力Q的方向一致;

假设2：横截面上同一层高上的剪应力相等。

剪应力公式：

，

b. 非矩形截面积

假设1： 同一层上的剪应力 作用线通过这层两端边界的切线交点，剪应力的方向与剪力的方向。

假设2：同一层上的剪应力在剪力Q方向上的分量 相等。

剪应力公式：

c.薄壁截面

假设1：剪应力 与边界平行，与剪应力谐调。

假设2：沿薄壁t， 均匀分布。 剪应力公式：

学会运用“剪应力流”概念确定截面上剪应力的方向。

三.梁的内力方程，内力图，挠度，转角

¨ 遵守材料力学中对剪力 Q 和弯矩 M 的符号规定。

¨ 在梁的横截面上，总是假定内力方向与规定方向一致，从统一的坐标原点出发划分梁的区间，且把梁的坐标原点放在梁的左端(或右端)，使后一段的弯矩方程中总包括前面各段。

¨ 均布荷载 q、剪力Q、弯矩M、转角θ、挠度 y 间的关系：

由： ， 有 设坐标原点在左端，则有：

： ， q 为常值

： 其中A、B、C、D四个积分常数由边界条件确定。

例如，如图示悬臂梁：

则边界条件为：

截面法求内力方程：

内力是梁截面位置的函数，内力方程是分段函数，它们以集中力偶的作用点，分布的起始、终止点为分段点;

1) 在集中力作用处，剪力发生突变，变化值即集中力值，而弯矩不变;

2) 在集中力偶作用处，剪力不变，弯矩发生突变，变化值即集中力偶值;

3) 剪力等于脱离梁段上外力的代数和。脱离体截面以外另一端，外力的符号同剪力符号规定，其他外力与其同向则同号，反向则异号;

4) 弯矩等于脱离体上的外力、外力偶对截面形心截面形心的力矩的代数和。外力矩及外力偶的符号依弯矩符号规则确定。

梁内力及内力图的解题步骤：

1) 建立坐标，求约束反力;

2) 划分内力方程区段;

3) 依内力方程规律写出内力方程;

4) 运用分布荷载q、剪力Q、弯矩M的关系作内力图;

关系： 规定：①荷载的符号规定：分布荷载集度 q 向上为正;

②坐标轴指向规定：梁左端为原点，x 轴向右为正。

剪力图和弯矩图的规定：剪力图的 Q 轴向上为正，弯矩图的 M 轴向下为正。

5) 作剪力图和弯矩图：

① 无分布荷载的梁段，剪力为常数，弯矩为斜直线;Q>0，M图有正斜率(﹨);Q<0，有负斜率(/);

② 有分布荷载的梁段(设为常数)，剪力图为一斜直线，弯矩图为抛物线;q<0，Q图有负斜率(﹨)，M 图下凹(︶);q>0，Q图有正斜率(/)，M图上凸(︵);

③ Q=0的截面，弯矩可为极值;

④ 集中力作用处，剪力图有突变，突变值为集中力之值，此处弯矩图的斜率也突变，弯矩图有尖角;

⑤ 集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变，突变值为力偶之矩;

⑥ 在剪力为零，剪力改变符号，和集中力偶作用的截面(包括梁固定端截面)，确定最大弯矩( );

⑦ 指定截面上的剪力等于前一截面的剪力与该两截面间分布荷载图面积值的和;指定截面积上的弯矩等于前一截面的弯矩与该两截面间剪力图面积值的和。

共轭梁法求梁的转角和挠度：

要领和注意事项：

1) 首先根据实梁的支承情况，确定虚梁的支承情况

2) 绘出实梁的弯矩图，作为虚梁的分布荷载图。特别注意：实梁的弯矩为正时，虚分布荷载方向向上;反之，则向下。

3) 虚分布荷载 的单位与实梁弯矩 单位相同 ，虚剪力的单位则为 ，虚弯矩的单位是 4) 由于实梁弯矩图多为三角形、矩形、二次抛物线和三次抛物线等。计算时需要这些图形的面积和形心位置。

叠加法求梁的转角和挠度：

各荷载对梁的变形的影响是独立的。当梁同时受n种荷载作用时，任一截面的转角和挠度可根据线性关系的叠加原理，等于荷载单独作用时该截面的转角或挠度的代数和。

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（责任编辑：昆凌）