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十九,约数个数问题
M=A^X*B^Y 则M的约数个数是
(X+1)(Y+1)
360这个数的约数有多少个?这些约数的和是多少?
解〕360=2×2×2×3×3×5,所以360的任何一个约数都等于至多三个2(可以是零个,下同),至多两个3和至多一个5的积。如果我们把下面的式子
(1+2+4+8)×(1+3+9)×(1+5)
展开成一个和式,和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的积。由前面的分析不难看出,360的每一个约数都恰好是这个展开式中的一个加数。由于第一个括号里有4个数,第二个括号里有3个数,第三个括号里有2个数,所以这个展开式中的加数个数为4×3×2=24,而这也就是360的约数的个数。另一方面,360的所有约数的和就等于这个展开式的和,因而也就等于
(1+2+4+8)×(1+3+9)×(1+5)
=15×13×6=1,170
答:360的约数有24个,这些约数的和是1,170。
甲数有9个约数,乙数有10个约数,甲、乙两数最小公倍数是2800,那么甲数和乙数分别是多少?
解:一个整数被它的约数除后,所得的商也是它的约数,这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时,也就是这个数是完全平方数时,它的约数的个数才会是奇数.因此,甲数是一个完全平方数.
2800=24×52×7.
在它含有的约数中是完全平方数,只有
1,22,24,52,22×52,24×52.
在这6个数中只有22×52=100,它的约数是(2+1)×(2+1)=9(个).
2800是甲、乙两数的最小公倍数,上面已算出甲数是100=22×52,因此乙数至少要含有24和7,而24×7=112恰好有(4+1)×(1+1)=10(个)约数,从而乙数就是112.综合起来,甲数是100,乙数是112.
二十,吃糖的方法
当有n块糖时,有2^(n-1)种吃法。
二十一,隔两个划数
1987=3^6+1258
1258÷2×3+1=1888
即剩下的是1888
减去1能被3整除
二十二,边长求三角形的个数
三边均为整数,且最长边为11的三角形有多少个?
[asdfqwer]的最后解答:
11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1;
11,10,10;11,10,9;...11,10,2;
11,9,9;...11,9,3;
11,8,8;...11,8,4;
11,7,7,...11,7,5;
11,6,6;
1+3+5+7+9+11=6^2=36
如果将11改为n的话,
n=2k-1时,为k^2个三角形;
n=2k时,为(k+1)k个三角形。
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