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势能的相对性

质点1质量为m，质点2质量为M，两质点相距r，不受任何外力，只考虑两质点之间的万有引力，

假定：在t=0时两质点相对静止，两质点之间的万有引力为F，则两质点由静止同时向对方运动，M的加速度为A，m的加速度为a，M的速度为V，m的速度为v，两质点经过时间t后相遇，m的位移为s，M的位移为S，|s|+|S|=r。

F=GMm/r^2=ma=MA 两质点所受的万有引力始终相等，但随距离缩短而加大。

A=Gm/r^2;a=GM/r^2 两质点加速度不同，且都随距离缩短而加大。

V = At= Gmt/r^2;v = at= GMt/r^2 两质点的速度也不相同，且都随距离缩短而加大。

那么两质点的位移也不相同。

S和s的值需要使用微积分结算，过程比较复杂，忽略过程，结果如下：

S=rm/(M+m)

s=rM/(M+m)

把两质点相遇的这个点称为质中点，把r/2处称为距中点，质中点在大质点和距中点之间。

质中点是个什么样的点呢?

假设：两质点中间有一无刚性直棒连接，用细线系在质中点，将细线向上拽，连接两质点的直棒将垂直于细线，如将两质点看做是个整体，那么两质点的质中点就是这个整体质点的位置所在，也就是两质点整体的重心或质心。

m静止时的势能为：EP1=mah=m(GM/r^2)( rM/(M+m))= GM^2m/r(M+m)

M静止时的势能为：EP2=Mah=M(Gm/r^2)( rm/(M+m))=GMm^2/r(M+m)

以上分析是认为两质点同时向质中点运动，是以质中点建立的参考系。

如果分别以m和M建立参考系会怎么样呢?

以M建立参考系，则：

m静止时的势能为：EP=mah=m(GM/r^2)r=GMm/r

M静止时的势能为：EP=Mah=M(Gm/r^2) r=GMm/r

EP=EP1+EP2

可见质点的势能与参考系有关，即在讲质点的势能时，一定要讲是相对谁的势能。

以M建立参考系，M的势能为0，m的势能为GMm/r;以m建立参考系，m的势能为0，M的势能为GMm/r，以M和m连线上一点建立参考系，M和m的势能和为GMm/r。

结论：在一维空间中，质点的势能与参考系有关，但势能公式在不同参考系中是等价的。同样，在三维空间中，质点的势能与参考系有关，但势能公式在不同参考系中是等价的(省略论证)。

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（责任编辑：中大编辑）

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