第五章 特征值与特征向量 定义 设A为n阶方阵，如果数λ与非零列向量x使 Ax=λx 则数λ称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应特征值入的特征向量。 记f(λ)=∣A－λE∣，这是λ的n次多项式，称为矩阵A的特征多项式。f(λ)==0称为特征方程，特征方程的根就是A的特征值。n阶方阵A有n个特征值(实的或复的，重根按重数计算个数)。 设λ0是A的一个特征值，由于∣A－λE∣=0，故齐次方程(A－λE)=0必有非零解，这个非零解就是对应于特征值λ0的特征向量。 定理 设A是n阶实对称方阵，则A的特征值都是实数，且有n个两两正交的特征 向量。 定理 设方阵A有特征值λ0，则φ(A)有特征值φ(λ0)，其中多项式φ(λ)= a0+a1λ+…+amλm    [例3] 设2是方阵A的特征值，则A2—3A+E必有特征值 (A)0。 (B)1。 (C)—1。 (D)以上都不对。 [解] 由于φ(λ)=λ2—3λ+1，因此A2—3A＋Ｅ＝φ(A)必有特征值φ(2) ＝22—2×3+1＝—l，故应选(C)。 |
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