3.3 恒定总流连续性方程 设有一水箱，其水面高度保持不变，水箱侧面用不同的直径管道连接起来(图6-3-4)，当闸门打开时，水不断地流动，取断面面积A1及A2之间的一段液流进行研究。因液流是恒定流，不可压缩(ρ=c)的连续的流动，经过dt时间后从1-2段的位置移动到1'-2'段的位置，设断面1的平均流速为v1，经过dt时间后移动的距离小v1dt，同样断面2经过dt时间后，移动的距离v2dt。由于管道没有分叉出流、从断面1-1流进去的水量应该等于从断面2-2流出来的水量，也就是说，断面1—1～1'—1'水的体积等于断面2—2～2'—2'水的体积，即  根据上面流量的定义，可写成Q1=Q2，即通过断面1-1的流量等于断面2—2的流量。 式(6-3-2)就是总流一元流动的连续性方程。如果式(6-3-2)中两边乘上密度ρ即为质量流量ρQ，这说明从断面1—1流进去的质量等于从断面2-2流出来的质量。因此这是质量守恒在流体力学中的表达形式。 3.4 恒定总流能量方程3.4.1 元流能量方程连续性方程属于运动学的范畴，它只给出沿流断面的流速变化规律，完全没有涉及流体受力的情况。下面从功能原理着手推导出元流能量方程，然后推广到总流。功能原理是外力对物体所作的功等于物体机械能(位能和动能)的变化。  在流场中选取一元流，如图6-3-5所示。在元流上取断面1-1和断面2-2，两断面的高程和面积分别为z1、z2和dA1、dA2。两断面的流速和压强分别为u1、u2和p1、p2。以两断面间的元流段为研究对象，在dt时间内由原来的1122位置移动到1'1'2'2'位置，断面1—1和断面2-2分别移动了uldt和u2dt的距离。 在断面1—1所受压力pldAl，所作正功pldAluldt，断面2-2所受压力p2dA2，它与流动方向相反所作的功是负的，等于—p2dA2u2dt。元流侧面所受的压力和元流流向垂直，没有作功。而沿元流侧表面还有和流体方向相反的内摩擦阻力作了负功—dHw，因此外力作功为  经过dt时间后从位置1122变化到1'1'2'2'位置，在恒定流的条件下1'1'2'2'这段中的流体的能量没有发生变化，所以dt时间内流体能量的变化，也就是新位置2—2'的能量和原位置1—1'的能量两者之差值。 由于流体不可压缩、新旧的位置1—1'、2—2'所占据的体积等于dQdt，质量等于ρdQdt。根据物理学中的公式，动能0.5mu2，位能mgz，所以动能增值为：  位能的增值为  按功能原理(1)=(2)+(3)，可得：  等式各项除以ρgdQdt，并设  整理后得：  这就是不可压缩流体元流能量方程或称伯努利方程。它反映了恒定流中沿流各点位置高度z，压强p和流速u之间的变化规律。 式(6-3-3)说明元流从一个断面流到另一断面的过程中，各项能量(位能，压能，动能)在一定的条件下是可以互相转化的。但是前一个断面的单位机械能应等于后一个断面的单位总机械能与两断面之间水头损失之和。此方程是能量守恒在流体力学中的特殊表达形式。 3.4.2 渐变流断面上的压强分布为将元流的能量方程推广到总流，必须引入关于渐变流的概念。在前面二流体运动的分类一段中已介绍：均匀流是同一流线上各质点的流速大小和方向相同，因此不存在惯性力，同一断面各点间的压差主要由重力引起，所以同一断面上的动压强分布规律和静压强分布规律相同 即  式中 下标A、B用以区别同一断面上不同点的相应量如图6-3-6所示。   在渐变流断面n—n上取任意长度为l，断面面积为dA的微小柱体(图6—3—7)，分析作用于柱体上的力在n方向的分力。柱体上、下两断面距基准面O-O的高程分别z1和z2，压强p1和p2，柱体重力在n-n方向的分力Gcosα=ρgldAcosα；作用在柱体两端面的压力pldA和p2dA，柱侧面压力垂直于n-n轴，在n-n轴上的投影为零；其黏性力可忽略不计，由此可得：  由于  则  即渐变流中同一边流断面上的压强按静压强的规律分布。 (一)总流的能量方程—伯努利方程  在图6-3-8的总流中，选取两个渐变流断面1-1和断面2-2。总流的能量方程是流能量方程式(6-3-3)在两断面范围内的积分：  由于断面处在渐变流段，z+p/ρg在断面上保持不变，可以提到积分符号外，则两断面的势能积分则可写   按工程实用的方便需将第三项用断面平均流速来表示。同时考虑实际流体的流速不均匀性，还应增加流速的不均匀系数。值或称动能修正系数。它反映断面上流速分布不均匀程度。通常取α＝1．05—1．1，在多数的实际工程的计算中可取α＝1．0已能满足精度的要求，于是两断面动能可写成：  式中 α1，α2为断面1-1和断面2-2的动能修正系数。 总流中各元流能量损失也是沿断面变化的。为了计算方便，设hw为平均单位能量损失。则  现将以上各式各项积分值代入原积分式(6-3-4)中，各项除以ρgQ，得出单位重量的能量方程：
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