中级经济师

第二十四章 数据特征在测度

一、集中趋势的测度

集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。集中趋势的测度，主要包括位置平均数和数值平均数。位置平均数是指按数据的大小顺序或出现频数的多少，确定的集中趋势的代表值，主要有众数、中位数等;数值平均数是指根据全部数据计算出来的平均数，主要有算术平均数、几何平均数等。

(一)众数

众数是一组数据中出现频数最多的那个数值，用M₀表示。例如，一家连锁超市的10个分店某月的销售额(单位：万元)分别为：

61 65 73 78 80 80 80 80 96 97

这l0个分店月销售额的众数为M₀=80(万元)

用众数反映集中趋势，非常直观，不仅适用手品质数据，也适用于数值型数据。众数是一个位置代表值，不受极端值的影响，抗干扰性强。所谓极端值就是明显比其他数据大得多或小得多的数值。

(二)中位数

把一组数据按从小到大的顺序进行排列，位置居中的数值叫做中位数，用M_e表示。中位数将数据分成两部分，其中一半的数据小于中位数，另一半数据大于中位数。这里只简单介绍一下根据未分组数据计算中位数的方法。

根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置，其公式为：

中位数位置= (n+1)/2

式中，n为数据的个数。最后确定中位数的具体数值。

设一组数据为X₁，X₂，…，X_n，按从小到大顺序为X₍₁₎，X₍₂₎，…，X_(n)，则中位数为：

例如，某地级市下辖9个县，每个县的面积如下(单位：平方千米)，计算该市下辖县面积的中位数：

1455 2019  912 1016 1352 1031 2128 1075 2000

首先，将上面的数据排序结果如下：

912 1016 1031 1075 1352 1455 2000 2019 2128

中位数位置=(9+1)÷2=5，中位数为1352，即M_e =1352(平方千米)

在上例中，由于行政区划调整，临市的一个面积为1000平方千米的县划归该市。行政区划调整后，该市现在下辖10个县，该市下辖县的面积(单位：平方千米)从小到大依次为：

912 1000 1016 1031 1075 1352 1455 2000 2019 2128

计算行政区划调整后该市下辖县面积的中位数：

中位数位置=(10+1) ÷2=5.5，中位数为1213.5，即

M_e= (1075+1352)÷2=1213.5(平方千米)

中位数主要用于顺序数据，也适用于数值型数据，但不适用于分类数据。中位数也是一个位置代表值，不受极端值的影响，抗干扰性强。

(三)算术平均数

算术平均数是全部数据的算术平均，又称均值，用 表示。算术平均数是集中趋势最主要的测度值，在统计学中具有重要的地位，是进行统计分析和统计推断的基础。它主要适用于数值型数据，但不适用于品质数据。根据数据表述形式的不同，算术平均数有不同的计算形式和计算公式。

1.简单算术平均数。简单算术平均数主要用于处理未分组的原始数据。设一组数据为X₁，X₂，…，X_n，简单算术平均数的计算公式为：

例如，某售货小组有5名营业员，元旦一天的销售额分别为520元、600元、480元、750元和500元，求该日平均销售额。

计算结果表明，元旦5名营业员的平均销售额为570元。

2.加权算术平均数。加权算术平均数主要用于处理经分组整理的数据。设原始数据被分成k组，各组的组中值为X₁，X₂，…，X_n，各组的频数分别为f₁，f₂，…，f_k，加权算术平均数的计算公式为：

例如，某市商业企业协会根据100个会员样本，整理出一年销售额分布资料：

计算年平均销售额。

首先确定组中值，计算结果在表24—1中列出。代入公式得：

计算结果表明，100个商业企业的年均销售额为240万元。

计算和运用算术平均数需注意：第一，算术平均数同时受到两个因素的影响，一个是各组数值的大小，另一个是各组分布频数的多少。在数值不变的情况下，哪一组的频数多，该组的数值对平均数的作用就大，反之哪一组的频数少，该组数值对平均数的影响就小。频数在加权算术平均数中起着权衡轻重的作用，这也是加权算术平均数“加权”一词的来历。第二，算术平均数易受极端值的影响。比如有下列资料：5、7、5、4、6、7、8、5、4、7、8、6、20，全部资料的平均数是7.1，实际上大部分数据(有10个)不超过7，如果去掉20，则剩下12个数的平均数为6。由此可见，极端值的出现，会使平均数的真实性受到干扰。

(四)几何平均数

n个观察值连乘积的n次方根就是几何平均数。根据资料的条件不同，几何平均数也有加权和不加权之分。这里只介绍简单几何平均数的计算。

设一组数据为X₁，X₂，…，X_n，且大于0， g表示几何平均数，则：

式中，Ⅱ为连乘积符号。

例如，某型号钻头的生产，需经过6道不同的加工工序，各道工序的合格率如表24—2所示，计算平均合格率。

用几何平均数的方法进行计算，得：

各道工序的平均合格率为96.63%。

计算几何平均数要求各观察值之间存在连乘积关系，它的主要用途是：①对比率、指数等进行平均;②计算平均发展速度。

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