中级统计师

（一）长期趋势

长期趋势分析是统计动态分析的重要内容。其作用为：

①     观察和研究客观现象发展变化的方向，发展变化的幅度；

②     观察和研究客观现象在研究期内的主要波动，为进一步研究季节波动和循环波动做准备；

③     通过以上两方面的研究进一步预测未来发展状态。

对客观现象的长期趋势进行分析，统计上主要的方法为图示法和模型法。图示法主要是利用较为简单的移动平均修匀数据后，再绘制散点图来描述事物发展变化的规律。而模型法是利用数学模型模拟动态趋势，用最为的恰当的模型来概括事物的发展动态。

1．  时间变量回归模型

时间变量回归模型是应用回归分析的原理，将时间序列中的时间因素（t）作为自变量（解释变量），所要描述的经济变量作为因变量（被解释变量）而建立的模型。其总体模型为：

其中的两个参数a和b的估计值可以根据的各期观测值与各斯的序号t采用最小平方法得到。

其参数估计公式为

依据上述公式求出之后，即可得到反映长期趋势的回归方程：，把时间变量的t的未来取值代入该式，即可得到相应时期的预测值。

2．  时间序列模型

时间序列模型也是应用回归分析的原理，在假定社会经济现象存在序列相关，即某一时期的发展水平和前几期水平相互关联的基础上，将前几期的变量作为自变量而建立的模型。

（1）     自回归模型

自回归模型考虑的是时间序列第t期的观测值与前若干期的观测值之间的线性回归关系。

最简单的自回归模型是一阶自回归模型。即时间序列在 t期的观测值，至少部分地和(t-1)期的观测值相关，一阶自回归模型可记为AR(1)，定义如下：

在一阶自回归模型中，部分地依赖于，部分地依赖随机扰动项。

从AR（1）进一步扩展，可以引出二阶自回归模型AR（2），即：

及n阶自回归模型AR（n）：

式中，表示时间序列在第t期的观测值，表示该时间序列在第期的观测值，表示该时间序列在第期的观测值，为自回归的阶数。

（2）     滑动平均模型

另一种常见的时间序列模型是滑动平均模型（MA），它可表示为：

其中为常数，（）为随机扰动项。MA序列与AR序列不同，它是现在和有限范围内过去值的线性组合，所以只影响的m个未来值。

（3）     自回归滑动平均模型

更一般的时间序列模型是用n阶自回归m阶滑动平均的混合模型来描述，称为AR-MA（n,m）模型。它满足：

建立时间序列模型，要进行四方面的选择和判断：一是判断所依据的时间序列资料是否能够满足稳定性要求；二是判断哪一种自回归模型适合，是AR模型，还是MA模型，或是ARMA模型；三是判断模型的阶数；四是对模型的参数进行估计。

所谓“平稳”时间序列，是指其统计特性不随时间的变化而发生变化。完全平稳时间序列的定义较为复杂，且实际问题中的时间序列往往不只要能是完全平稳的，因此统计中一般考虑的“平稳”可归结为：对所有的时间点，序列具有同样的均值、方差，而且任何两时间点s,t之间序列的协方差只取时间间隔(t-s)，而和这些点在时间轴上的位置无关。

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