中级统计师

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点估计又称定值估计，是一种对未知的总体参数进行估计的统计方法，其估计结果是一个具体数值。

点估计问题的严格数学表达式如下：设总体X的分布函数F 形式为已知， 是待估参数， 是X的一个样本， 是相应的一个样本观察值，通过构造一个适当的统计量 ( )，用它的观察值 ( )来估计未知参数 。我们称 ( )为 的估计量，称 ( )为 的估计值，在不致混淆的情况下统称为估计，并都简记为 。需要注意的是，由于估计量是样本的函数，因此对于不同的样本， 估计值往往是不同的。

点估计的优点在于它能够提供总体参数的具体估计值，其表达更直观、简练，并可以作为行动决策的数量依据。但其不足之处也是很明显：点估计所提供的信息量比较少，尤其不能提供估计的误差和把握程度方面的信息，比如说，误差会有多大，有多大把握可以保证结果正确等，这些信息在决策中往往是非常重要的。

点估计的方法主要有矩估计法、最大似然法及贝叶斯法等。

1. 矩估计法

矩估计法首先在1849年由英国统计学家皮尔逊提出，它有简单易行的优点。用样本的矩作为相应(同类、同阶)总体矩的估计方法称为矩估计法。

在统计学中，矩是指以期望值为基础而定义的数字特征。矩分原点矩和中心矩两种。

设X为随机变量，对于任意正整数k，称E(Xk)为随机变量X的k阶原点矩，称E[X-E(X)]k为以E(X)为中心的k阶中心矩。当k=1时，E[X-E(X)]= ，当k=2时，E[X-E(X)]2= ，于是说总体X的一阶原点矩(总体均值)为 =EX，二阶中心矩为 =DX，(即：总体的一阶原点矩就是数学期望，二阶中心矩则是方差)

1. 最大似然估计法

最大似然估计法是费歇在1912年提出的。从理论上看，它是参数点估计中最重要的方法，具有优良的数学性质，应用十分广泛。最大似然估计法是建立在最大似然原理基础上的求估计量的方法。

(1) 最大似然原理

最大似然原理的直观想法是：将在试验中概率最大的事件推断为最可能出现的事件。

一般地，如果总体分布中未知参数 可供选择的估计有 ，对于任意x，恒有： 成立。其中 是 中的某一个， 是异于 中任一估计，由于 使概率 )为最大，故应选 作为 的估计。满足上式的 称为待估参数 的最大似然估计。这就是最大似然原理的基本思想。

(2) 最大似然估计法简介(略)

2. 估计量的评选标准

在参数估计中，我们用样本估计量 作为总体参数 的估计。实际上，用于估计的估计量在很多情况下不只一个，例如：我们可以用样本均值作为总体均值的估计量，也可以用样本中位数作为总体均值的估计量等等。

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