中级统计师

2．计算步骤

主成分分析可分为以下几个主要步骤：

（1）列出指标数值矩阵X

（2）计算X的协方差矩阵S。为了消除指标间不同量纲的影响，一般需先对原始数据进行标准化处理，而变换后的标准化值的协方差矩阵恰好是原始指标数值X的相关矩阵。因此，计算协方差矩阵可简化为计算相关矩阵R。

（3）计算协方差矩阵S（或相关矩阵R）的特征值λ和特征向量L（即指标x的系数）。

（4）计算贡献率和累计贡献率，据以确定主成分（即综合指标）的个数，并建立主成分议程。

每个主成分y_k的贡献率等于它的特征值λ_k除以原始指标个数p，累计贡献率等于各主成分贡献率顺序相加，根据一定的选择标准，如果前r个主成分的累计贡献率大于或等于80%，（r），则可选定这r个主成分，根据特征向量L建立这r个主成分的线性方程：

y₁=l₁₁x₁+l₁₂x₂+…l_1px_p

y₂=l₂₁x₁+l₂₂x₂+…l_2px_p

………………………

y_p=l_r1x₁+l_r2x₂+…l_rpx_p

（5）解释各主成分的意义，并将各单位的原始数据代入方程中计算综合评价值进行分析比较。在多指标综合评价中，一般只需取第一个主成分y₁作为全面反映各指标状况的综合指标，因为它综合原始指标信息的能力最强。然后，根据这个综合指标值进行各参评单位的比较评价。

【主成分分析例示】

现通过四个技术指标对某一新产品在20种型号之间进行综合评价，请利用主成分分析计算综合评价值。

1．列出原始指标数值表（相当于原始指标数值矩阵X）

表2-29 原始指标数值表

2．计算矩阵R

1.    计算矩阵R的特征值和特征向量

   从表2-31可见，前两个主成分的累计贡献率为98.6%，如果舍去其余的主成分，丢失的信息仅为1.4%。因此，在进行一般分析时，可选取两个主成分。如果目的是为了进行综合评价，则只需选择第一主成分即可，其贡献率为73%，已包含了原始数据的部分信息。具有一定的代表性。该方程为：

y₁=0.1485x₁－0.5735x₂－0.5577x₃－0.5814x₄

5.计算各单位的综合值，并进行评价

因为本例是在相关系数矩阵R的基础上计算的特征值和特征向量，所以在计算各单位的综合值前，先要对以上方程式所涉及到的原始指标数值进行标准化处理，然后再将处理后的标准值代入上述方程式y₁=0.1485x₁－0.5735x₂－0.5577x₃－0.5814x₄ 中，分别计算各参评单位的综合评价值（参见表中最后一行）。 

表2-32 标准化处理和综合值表

根据综合值即可对各种型号产品的质量进行排序，16号产品的综合值为3.81，在20种产品中最大，排在第一位，03号产品的综合值为-3.03，在20种产品中最小，排在最后一位，其他型号产品依此类推即可。

通过以上的例示可见，主成分分析法在综合评价中的应用可避免许多人为因素的干扰，使评价结果更为科学。

【07年判断题】

65．主成分分析可以把多个指标简化为少数几个综合指标，这些综合指标既能够反映原来多个指标的信息，彼此之间又紧密相关。

【答案】错误

【08年单选题】

20．主成分分析能够把多个指标简化为少数几个综合指标，并能使这些综合指标尽可能地反映原来的多个指标的信息，并保证这些综合指标彼此之间（    ）。

A．互不相关                        

B．高度相关

C．低度相关                        

D．中度相关

【答案】A

【08年多选题】

50．下列关于主成分分析的表述正确的有（    ）。

A．主成分分析的目的是寻找少数几个主成分代表原来的多个指标

B．所确定的几个主成分之间是高度相关的

C．所确定的几个主成分之间是互不相关的

D．使用主成分分析方法的前提是原来的多个指标之间是相关的

E．各主成分是原来指标的线性函数

【答案】ACDE

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