中级统计师

（六）主成分分析

二、讲解内容

1．主成分分析的基本思路和简单数学解释

主成分分析就是把多个指标简化为少数几个综合指标的统计分析方法，它能使这些综合指标尽可能地反映原来多个指标的信息，并保证这些综合指标彼此之间互不相关。

主成分分析的数学解释：

设有p个原始指标：x₁,x₂,x₃,…x_p，用来对n个单位进行评价，则共有np个数据。

这p个原始指标之间往往存在着一定的相关性，主成分分析的目的是要将这些原始指标组合成新的不相关的指标：y₁,y₂,y₃,…y_p，以使各指标在整个经济过程中的作用容易解释，这些综合指标表现为原始指标的线性函数：

y₁=l₁₁x₁+l₁₂x₂+…l_1px_p

y₂=l₂₁x₁+l₂₂x₂+…l_2px_p

………………………

y_p=l_p1x₁+l_p2x₂+…l_ppx_p

由于所组合成的新指标：y₁,y₂,y₃,…y_p彼此不相关，就使我们有可能从中选择主要成分，通过对主要成分的重点分析，达到综合评价的目的。

通过数学计算可以将p个指标的总方差分解为p个不相关的综合指标的方差之和，并使第一个综合指标y₁方差达到最大（贡献率最大），第二个综合指标y₂的方差次大，依此类推，一般前面几个综合指标y₁,y₂,y₃,…y_r（r即可包含总方差中的绝大部分，也就是说，主成分分析可以使原始指标的大部分方差“集中”于少数几个主成分（综合指标）上，通过对这几个主成分的分析来实现对总体的综合评价。）

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