证券从业资格证

第二节 证券组合分析

知识点一、单个证券的收益和风险

(一)收益及其度量

任何一项投资的结果都可用收益率来衡量，通常收益率的计算公式为：

收益率=(收入-支出)/支出×100%

投资期限一般用年表示;如果期限不是整数，则转换为年。在股票投资中，投资收益等于期内股票红利和价差收益之和，其收益率计算公式为：

r=(红利+期末市价总值-期初市价总值)/期初市价总值×100%

通常情况下，收益率受许多不确定因素的影响，因而是一个随机变量。我们可假定收益率服从某种概率分布，即已知某一收益率出现的概率如下：

不同收益率对应的概率

收益率(%)r1r2r3

r4……rn

概率(Pi) p1p2p3p4……pn

数学中求期望收益率或收益率平均数的公式如下：

n

E(r)=∑ripi

i=1

例：假定证券A的收益率分布如下：

收益率(%)-40-100

15304050

概率(Pi) 0.030.070.30.10.050.20.25

E(r)=[(-40%)×0.30+(-10%)×0.07+0×0.30+15%×0.10+30%×0.05+40%×0.20+50%×0.25] ×100% =21.6%

在实际中，我们经常使用历史数据来估计期望收益率。假设证券的月或年实际收益率为r1(t=1,2，……，n),那么估计期望收益率的计算公式为：

1 n

r=─∑rt

n i=1

(二)风险及其度量

如果投资者以期望收益率为依据进行决策，那么他必须意识到他正冒着得不到期望收益率的风险。实际收益率与期望收益率会有偏差，期望收益率是使可能的实际值与预测值的平均偏差达到最小(最优)的点估计值。可能的收益率越分散，它们与期望收益率的偏离程度就越大，投资者承担的风险也就越大。因而，风险的大小由未来可能收益率与期望收益率的偏离程度来反映。在数学上，这种偏离程度由收益率的方差来度量。如果偏离程度用[ri-E(r)]2来度量，则平均偏离程度被称为方差，记为σ2。

n

σ2(r)=Σ[ri-E(r)]2Pi

i=1

式中：

Pi──可能收益率发生的概率;

σ ──标准差。

例：假定证券A的收益率的概率分布如下：

收益率(%)-2-11

3

概率(Pi) 0.20.30.10.4

那么，该证券的期望收益率E(r)为：

E(r)=(-2%)×0.2+(-1%)×0.3+1%×0.1+3%×0.4=0.6%

该证券的方差为：

σ2(r)=(-2%-0.6%)2×0.2+(-1%-0.6%)2×0.3+(1%-0.6%)2×0.1

知识点二、证券组合的收益和风险

(一)两种证券组合的收益和风险

我们用期望收益率和方差来计量单一证券的收益率和风险。一个证券组合由一定数量的单一证券构成，每一只证券占有一定的比例，我们也可将证券组合视为一只证券，那么，证券组合的收益率和风险也可用期望收益率和方差来计量。不过，证券组合的期望收益率和方差可以通过由其构成的单一证券的期望收益率和方差来表达。以下讨论两种证券的组合。

(一)两种证券组合的收益和风险

设有两种证券A和B，某投资者将一笔资金以XA的比例投资于证券A，以XB的比例投资于证券B，且XA+XB=1,称该投资者拥有一个证券组合P。如果到期时,证券A的收益率为rA,证券B的收益率为rB,则证券组合P的收益率rP为：

rP=XArA+XBrB

证券组合中的权数可以为负，比如XA<0，则表示该组合卖空了证券A，并将所得的资金连同自有资金买入证券B，因为XA+XB=1，故有XB=1-XA>1.

投资者在进行投资决策时并不知道rA和rB的确切值，因而rA、rB应为随机变量，对其分布的简化描述是它们的期望值和方差。投资组合P的期望收益率E(rp)和收益率的方差σp2为：

E(rP)=XAE(rA)+XBE(rB) (11.1)

σp2=X2Aσ2A+X2Bσ2B+2XAXBσAσBρAB (11.2)

式中：

ρAB── 相关系数

σAσBρAB──B协方差，记为COV(A，B)。

例：已知证券组合P是由证券A和B构成，证券A和B的期望收益率、标准差及相关系数如下：

证券名称期望收益率标准差相关系数投资比重

A10%6%0.1230%

B5%2%0.1270%

那么，组合P的期望收益为：

E(rP)=(0.1×0.3+0.05×0.7)×100%=6.5%

组合P的方差为=0.32×0.062+0.72×0.022+2×0.3×0.7×0.06×0.02×0.12=0.0327

选择不同的组合权数，可以得到包含证券A和证券B的不同证券组合，从而得到不同的期望收益率和方差。投资者可以根据自己对收益率和方差(风险)的偏好，选择自己最满意的组合。

(二)多种证券组合的收益和风险

当N非常大时，计算量十分巨大。在计算机技术尚不发达的20世纪50年代，证券组合理论不可能运用于大规模市场， 20世纪60年代后，威廉.夏普提出了指数模型以简化计算。随着计算机技术的发展，已开发出计算E(rp)和σ2p的计算机软件，如Matlab，SPSS和Eviews等，大大方面了投资者。

知识点三、证券组合的可行域和有效边界

(一)证券组合的可行域

1.两种证券组合的可行域

如果用前述两个数字特征──期望收益率和标准差来描述一种证券，那么任意一种证券都可用在以期望收益率为纵坐标和标准差为横坐标的坐标系中的一点来表示;相应地，任何一个证券组合也可以由组合的期望收益率和标准差确定出坐标系中的一点。这一点将随着组合的权数变化而变化，其轨迹将是经过A和B的一条连续曲线，这条曲线是证券A和证券B的组合线。可见，组合线实际上在期望收益率和标准差的坐标系中描述了证券A和证券B所有可能的组合。

根据式(11.1)和式(11.2)及XA+XB=1，A、B的证券组合P的组合线由下述方程所确定：

E(rp)=XAE(rA)+(1-XA)E(rB) (11.5)

σ2p=X2A σ2A+(1-XA)2σ2B+2XA(1-XA)σAσBρAB ( 11.6)

给定证券A、B的期望收益率和方差，证券A与证券B的不同的关联性将决定A、B的不同形状的组合线。

(1)完全正相关下的组合线。在完全正相关下，ρAB=1，方程演变(P259)

由证券A与证券B构成的组合线是连接这两点的直线。

(2)完全负相关下的组合线。在完全负相关情况下，ρAB=-1，方程演变(P259)

在完全负相关的情况下，按适当比例买入证券A和证券B可以形成一个无风险组合，得到一个稳定的收益率。

(3)不相关情形下的组合线。当证券A与B的收益率不相关时，ρAB=0，方程演变(P259)

(4)组合线的一般情形。

在不完全相关的情形下，一般情形下所确定的曲线是一条双曲线。相关系数决定结合线在A与B之间的弯曲程度。

随着ρAB的增大，弯曲程度将降低。当ρAB=1时，弯曲程度最小，呈直线;当ρAB=-1时，弯曲程度最大，呈折线;不相关是一种中间状态，比正完全相关弯曲程度大，比负完全相关弯曲程度小。

从组合线的形状来看，相关系数越小，在不卖空的情况下，证券组合的风险越小，特别是负完全相关的情况下，可获得无风险组合。

可见，在不卖空的情况下，组合降低风险的程度由证券间的关联程度决定。

2.多种证券组合的可行域。

可行域满足一个共同的特点：左边界必然向外凸或呈线性，即不会出现凹陷。

(二)证券组合的有效边界

投资者普遍喜好期望收益率而厌恶风险，因而人们在投资决策时希望期望收益率越大越好，风险越小越好。这种态度反映在证券组合的选择上可由下述规则来描述：

(1)如果两种证券组合具有相同的收益率方差和不同的期望收益率，即σ2A=σ2B，而E(rA)≠E(rB)且E(rA)>E(rB)，那么投资者选择期望收益率高的组合，即A。

(2)如果两种证券组合具有相同的期望收益率和不同的收益率方差，即E(rA)=E(rB)，而且σ2A≠σ2B，σ2A<σ2B，那么投资者选择方差较小的组合，即A。

这种选择原则，我们称为投资者的共同偏好规则。

人们在所有可行的投资组合中进行选择，如果证券组合的特征由期望收益率和收益率方差来表示，则投资者需要在坐标系的可行域中寻找最好的点，但不可能在可行域中找到一点被所有投资者都认为是最好的。按照投资者的共同偏好规则，可以排除那些被所有投资者都认为差的组合，我们把排除后余下的这些组合称为有效证券组合。

一个厌恶风险理性投资者，不会选择有效边界以外的点。

例题：多选题

投资者的共同偏好规则是指( )。

A.如果两种证券组合具有相同的收益率方差和不同的期望收益率，投资者选择期望收益率低的组合

B.如果两种证券组合具有相同的收益率方差和不同的期望收益率，投资者选择期望收益率高的组合

C.如果两种证券组合具有相同的期望收益率和不同的收益率方差，投资者选择方差较小的组合

D.人们在投资决策时希望期望收益率越大越好，风险越小越好

答案：BC

知识点四、最优证券组合

(一)投资者的个人偏好与无差异曲线

偏好不同的投资者，他们的无差异曲线的形状也不同。尽管如此，对于追求收益又厌恶风险的投资者而言，他们的无差异曲线具有如下六个特点：

(1)无差异曲线是由左至右向上弯曲的曲线;

(2)每个投资者的无差异曲线形成密布整个平面又互不相交的曲线簇;

(3)同一条无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度相同;

(4)不同无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度不同;

(5)无差异曲线的位置越高，其上的投资组合带来的满意程度就越高;

(6)无差异曲线向上弯曲的程度大小反映投资者承受风险的能力强弱。

例题：(单选题)

1.以下不属于无差异曲线特点的是( )。

A.每个投资者的无差异曲线形成密布整个平面又相交的曲线簇

B.无差异曲线是由左至右向上弯曲的曲线

C.同一条无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度相同

D.不同无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度不同

【正确答案】 A

2. 例题：(判断)无差异曲线向上弯曲的程度大小反映投资者的满意程度。( )

【正确答案】 错

(二)最优证券组合的选择

投资者共同偏好规则可以确定哪些组合是有效的(即投资价值相对较高)，哪些组合是无效的(即投资价值相对较低)。特定投资者可以在有效组合中选择他自己最满意的组合，这种选择依赖于他的偏好，投资者的偏好通过他的无差异曲线来反映。无差异曲线位置越靠上，其满意程度越高，因而投资者需要在有效边界上找到一个具有下述特征的有效组合：相对于其他有效组合，该组合所在的无差异曲线的位置最高。这样的有效组合便是使他最满意的有效组合，它恰恰是无差异曲线簇与有效边界的切点所表示的组合。

（责任编辑：lqh）

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