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四、一元线性回归分析

(一)基本公式

1.一元线性回归模型：

2.对于每组可以观察到的变量x，y的数值xi，yi，

满足关系：

3.利用普通最小二乘法原理(OLS)求出回归系数:

(二)一元线性回归预测流程

[例题2-5] 某地区2001~2010年某种钢板消费量(Y)及同期第二产业产值(X)如下表所示。则用一元线性回归模型估计消费量于第二产业产值时，建立的模型的回归常数和回归系数为(　)。

A.9.59, -7.55

B.-7.55, 9.59

C.3.44, -2.77

D.-2.77, 3.44

[答疑编号502334020201]

『正确答案』B

『答案解析』采用最小二乘法，计算相关参数：

=(143.33-1.62*79.4)/(27.68-1.62*16.2)=9.59

= 7.94 – 9.59* 1.62= -7.55 参见教材P35。

(三)回归检验

1.方差分析

基本公式：

，称为偏差平方和，又称总变差，

，称为回归平方和，又称可解释变差，

，称为残差平方和

可决系数：

2.相关系数检验

R的绝对值越接近1，变量x和y线性关系越好;反之，R的绝对值越接近0，变量x和y线性关系越不好。

计算出R值后，可以查相关系数检验表，在自由度(n-2)和显著性水平α(一般取α=0.05)下，若R大于临界值，则变量x和y之间的线性关系成立。

3.t检验

tb服从t分布，可以通过t分布表查得显著性水平为α，自由度为n-2的数值t(α/2,n-2)。与之比较，若tb的绝对值大于t，表明回归系数显著性不为0，参数的t检验通过，说明变量X和Y之间线性假设合理。 否则不合理。

(四)点预测与区间预测

点预测 ：

● 区间预测：

置信水平为 的预测区间为：

[例题2-6]通过最小二乘估计，得到某地区某种钢板消费量(Y)与同期第二产业产值(X)的一元线性回归方程为y= -7.55 +9.59x，，经计算∑(yi-yi’)2=11.87, ∑(yi-y)2=155.71 ，对其进行相关系数检验，相关系数值为(　)。

A.0.96

B.-0.96

C.0.04

D.-0.04

[答疑编号502334020202]

『正确答案』A

『答案解析』

计算相关系数：

参见教材P36。

[例题2-7]通过最小二乘估计，得到某地区某种钢板消费量(Y)与同期第二产业产值(X)的一元线性回归方程为y= -7.55 +9.59x，经计算∑(yi-yi’)2=11.87, ∑(xi-x)2=1.56 ，取α=0.05,对其进行t检验，结论是(　)。(已知 t(0.05,8)=1.86; t(0.025,8)=2.36，n=10)

A.tb大于1.86，线性假设合理

B.tb大于1.86，线性假设不合理

C.tb大于2.36，线性假设合理

D.tb大于2.36，线性假设不合理

[答疑编号502334020203]

『正确答案』C

『答案解析』计算tb

参见教材P37。

五、弹性系数分析

1.弹性系数定义

2.弹性系数特点

(一)收入弹性

收入弹性=购买量变化率/收入变化率

(二)价格弹性

1.价格弹性定义

商品需求的价格弹性是指当收入水平保持不变时，该商品购买量变化率与价格变化率之比。

2.价格弹性公式

价格弹性表示为：价格弹性=购买量变化率/价格变化率

(三)能源需求弹性

能源的国内生产总值弹性=能源消费量变化率/国内生产总值变化率

[例题2-8]某地区照相机销售量和人均年收入如下表所示, 预计到2012年人均年收入较2011年增加86%，人口增长0.4%。用收入弹性法预测2012年照相机需求量为(　)万台。

A.4.88

B.5.3

C.7.4

D.无法计算

[答疑编号502334020204]

『正确答案』B

『答案解析』

1.计算照相机收入弹性系数

2.取平均值作为照相机消费收入弹性系数 =(0.34+0.42)/2=0.38

3.2012年人均年收入较2011年增加86%，则2012年每万人照相机消费量将增长：0.38*86%=32.68%

2012年每万人照相机消费量=2011年每万人照相机消费量(1+×需求增长)

=58.00 *(1+32.68%)=76.95(台/万人)

4.2012年人口较2011年增长0.4% ，

2012年人口数=688*(1+0.4%)=690.75(万人)

5.2012年照相机消费量= 76.95* 690.75=5.3(万台)

解题的关键在于理解收入弹性系数的含义，以单位消费量来计算消费的收入弹性，以排除人口增长的影响，计算出预测期的单位消费量后，然后再与人口数相乘得到预测期总的消费量。参加教材P40。

[例题2-9]某市2005年GDP达到1788亿元，当年电力消费量269万千瓦小时。经分析，预计未来10年中前5年和后5年，GDP将保持9%和8%的速度增长，同期的电力需求弹性系数分别为0.66和0.59。用弹性系数法可以预测2015年电力需求量为(　)。

A.269(1+5.94%)5(1+4.72%)5

B.269[1+(5.94%+4.72%)/2]10

C.269(1+9%*0.625) 10

D.269(1+8%*0.625) 10

[答疑编号502334020205]

『正确答案』A

『答案解析』

2006～2010年电力需求增长速度

=2006～2010年电力消费弹性系数×2006～2010年GDP年增长速度

=0.66×9%=5.94%;

2010～2015年电力需求增长速度

=2010～2015年电力消费弹性系数×2010～2015年GDP年增长速度

=0.59×8%=4.72%

2015年电力需求量为=269(1+5.94%)5(1+4.72%)5参见教材P43。

六、消费系数法

具体程序是：

(1)分析产品X的所有消费部门或行业。

(2)分析产品X在各部门或行业的消费量Xi与各行业产品Yi产量，确定在各部门或行业的消费系数;

某部门的消费系数еi=某部门产品消费量Xi/该部门产品的产量Yi

(3)确定各部门或行业的规划产量，预测各部门或行业的消费需求量;

部门需求量Xi’=部门规划生产规模Yi’×该部门消费系数еi

(4)汇总各部门的消费需求量。

产品总需求量X’=∑各部门的需求量Xi’

[例题2-10]2007年某商品在A、B两个产业部门的销售量分别为300万吨和700万吨，A产业的产值1200亿元，B产业的产值2100亿元，预计2008年A、B产业的产值将分别增长4%，5%，则2008年该产品的销售量为(　)万吨。

A.1269

B.1552

C.1047

D.2003

[答疑编号502334020301]

『正确答案』A

『答案解析』2008年A产业的产值= 1200*(1+4%)=1248

B产业的产值= 2100*(1+5%)=2205

2008年该产品的销售量=(300/1200)*1248+(700/2100)*2205=1047参见教材P44。

（责任编辑：中大编辑）