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等额支付系列情形

2.等额支付系列情形
在工程经济实践中，多次支付是最常见的支付形式。多次支付是指现金流量在多个时点发生，而不是集中在某一个时点上，即形成一个序列现金流量，并且这个序列现金流量额的大小是相等的。包括四个基本公式：
(1)年金终值公式一已知，已知，A，i，n，求F：
其含义是在一个时间序列中，在利率为i的情况下连续在每个计息期的期末支付一笔等严的资金”，求“年后由各年的本利和累积而成的总值F,类似于银行储蓄中的零存整取。
根据公式的推导可知：
F=A[（l＋i）n一l]/i                        3-5
[（l＋i）n一l]/i称为等额系列终值系数或年金终值系数，记为(F/A，i，n）可从附录中查得。
例题  若在10年内，每年末存入银行1000万元，年利率8%，问10年后本利和为多少？
解：由式(3-5)得：
F＝A（F/A，i，n)＝1000（F/A，8％，10）
从附录中查出(F/A, 8％，10)为14.487,代入式中得：F＝1000 X 14. 487＝14487（万元）

（2）偿债基金计算  已知F，i，n求A。
其含义是为了筹集未来n年后需要的一笔偿债旦资金F，在利率为i的情况下，求每个计息期的期末应等额存储的资金A，类似于日常商业中的分期付款业务。偿债基金计算是等额系列终值计算的逆运算，其计算公式可由年金终值公式导出：
A=F i/[（l＋i）n一l]                 3-6
i/[（l＋i）n一l]称为等额系列偿债基金系数，用符号(A/F,i，n)表示，它与年金终值系数互为倒数。
例题  若想在第5年年底获得1000万元，每年存款金额相等，年利率为10％，则每年需存款多少？
解：由式(2.1.23)得：
A＝F(A/F，i，n)＝1000 (A/F，10％，5）
从附录中查出系数(A/F，加％，5）．为0.1638，代入上式得：A＝1000 X 0. 1638＝163.8（万元）

(3)资金回收公式，已知P，i,n，求A
其含义是期初一次投资数额为P，欲在n年内将投资全部收回，则在利率为i的情况下，求每年应等额回收的资金A。
资金回收计算公式可根据偿债基金公式和一次支付终值公式推导，即：
A=F i/[（l＋i）n一l]  ，F＝P（1＋i）n 
所以可以得出：
A= P（1＋i）n i/[（l＋i）n一l]          3-7
其中（1＋i）n i/[（l＋i）n一l]称为资金回收公式，记为(A/P,i，n)，公式可写为：
A= P(A/P,i，n)
例题  若投资1000万元，每年收回率为8％，在10年内收回全部本利，则每年应收回多少？
解：由式(3-7)得：
 A＝P(A/P，i，n) = 1000(A/P，8％，10)
从附录中查出系数（A／尸，8％，10)为0。14903，代入上式得：
A＝1000 × 0. 14903三149。03（万元）

(4)年金现值公式—已知A,i,n，求P。
其含义是在n年内每年等额收支一笔资金A，则率为i的情况下，求此等额年金收支的现值总额A，
P=A[（l＋i）n一l]/ （1＋i）n i             3-8
它与资金回收公式互为倒数，[（l＋i）n一l]/ （1＋i）n i称为年金现值系数，记为（(P/A,i，n)
例题若想在5年内每年末收回1000万元，当利率为10％时，问开始需一次投资多少；
解：由式(3-8）得：－
P＝A（P/A，i，n)＝1000（P/A，10％，5）
从附录中查出系数(P/A, 10％，5)为3.7908，代入上式得：P＝1000 ×3. 7908 = 3790. 8（万元）
从以上的公式可以看出：
在一次支付的情形中，一次支付现值与一次支付终值互为倒数；在等额支付中年金终值与偿债基金互为倒数，资金回收公式与年金现值公式互为倒数。
在公式的记忆上，一次支付的情形中的公式比较容易，在等额支付中记住资金回收公式和偿债基金公式就可以了，其它年金现值和年金终值分别是上述的倒数。其中资金回收系数和偿债基金系数的关系如下：
P(A/P,i，n)= (A/F,i，n)+ i
在记公式时不要单纯的进行死记，应灵活的利用各个公式之间的关系，进行联系记忆。
上述的公式为基本的公式，在实际的应用中现金流量与公式中的现金流量可能有所不同，在应用公式时，应将不同的情况转化为可以应用公式的现金流量的形式进行利用公式计算。

3．等值的计算
由于资金的时间价值使得金额相同的资金发生在不同时间产生不同的价值。反之，不同时点金额不等的资金在时间价值的作用下却可能具有相等的价值。这些同时期、不同数额但其“价值等效”的资金称为等值，也称为等效值。在工程经济分析中，等值是一个十分重要的概念，它为我们确定某一经济活动的有效性或者进行方案比较、优选提供了可能，
下面通过一个例题说明等值的概念：
例题  设i=10％，现在的1000万元等于5年末的多少万元？
解：通过计算 5年末的本利和F为：
F=1000 (F/P，10％，5）＝1000 ×1．6105＝1610.5（万元
计算结果表明，年利率为10％时，现在的1000万元，等值于5年末的1610.5万元；5年末的1610.5万元，当i=10％时，等值于现在的1000万元。
如果两个现金流量等值，则对任何时刻的时值必然相等。
现用上例求第3年末的时，按P=1000万元计算3年末的时值：F3=1000 (F/P,)=1331（万元）
用F=1610. 5万元，计算2年前的价值：P'=1610. 5（尸／F，10％，2) =1610.5 X0.8264＝1331（万元）
若计算第7年末的时值：
按P=1000万元计算第7年末的时值：F' =1000 (F/P, 10 0 o , 7) =1000 × 1. 9487 =1948.7（万元）
按F=1610. 5万元，计算第2年末的时值（此时n=7-5=2)尸＝＝ 1610. 5 (F/P，10％，2）＝1610.5 × 1．21＝1948.7（万元）
从以上的计算可以看出，影响资金等值的因素有三个：金额的多少、资金发生的时间、利率（或析现率）的士少其中，利率是一个关键因素，一般等值计算中是以同一个利率为依据的。
在考虑资金时间价值的情况下，不同时间发生的收人或支出是不能直接相加减的。而利用等值的概念，则可把不同时点发生的资金换算成同一时点的等值资金，然后再进行比较。在工程经济分析中，方案比较都是采用等值的概念来进行分析、评价和选定的。
 

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