发表时间:2010/2/27 10:46:07 来源:本站
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一、随机变量的概念 前一章建立了随机事件及其概率的概念。我们发现有些试验的结果,直接表现为数量。比如,在抽样检验产品中,出现废品的个数;在供电问题中,人们关心的是在某段事件内,同时工作的车床数目;射击时弹着点与目标的距离等。尽管有些试验的结果没有直接表现为数字,但我们仍然可以用数字来表示它。比如,一次试验中,试验成功记为1,试验失败记为0;产品检验中,优质品记为2,次品记为1,废品记为0等等。由此可见,对于任何一个试验的各种基本结果,都可以用数量与之对应。
尽管由于随机因素的作用,试验的结果有多种可能性,但是对于试验的每一个结果ω,都可以用一个实数X(ω)来表征:试验的结果不同,X(ω)可能取不同值,因而是一个变量,故X(ω)是试验结果的函数.我们称这种变量X(ω)为随机变量,简记为X.
随机变量作为样本点的函数,有两个基本特点,一是变异性:对于不同的试验结果,它可能取不同的值,因此是变量而不是常量;二是随机性:由于试验中究竟出现哪种结果是随机的,因此该变量究竟取何值是在试验之前,事先无法确定的,直观上,随机变量就是取值具有随机性的变量。
根据取值情况随机变量可以分为两大类:离散型和非离散型。离散型随机变量的所有可能取值为有限个或至多无穷可列个;非离散型随机变量的情况比较复杂,它的所有可能取值不能够一一列举出来。其中的一种对于实际应用最重要,称为连续型随机变量,其值域为一个或若干个有限或无限区间。今后我们主要研究离散型和连续型两种随机变量。
二、离散型随机变量的概率分布 定义2.1:如果随机变量X只可能取有限个或至多可列个值,则称X为离散型随机变量。
定义2.2:设X为离散型随机变量,它的一切可能取值为X1,X2,……,Xn,……,记
P=P{X=xn},n=1,2……(2.1)
称(2.1)式为X的概率函数,又称为X的概率分布,简称分布。
离散型随机变量的概率分布有两条基本性质:
(1)Pn≥0 n=1,2,…
(2)∑pn=1
对于集合{xn,n=1,2,……}中的任何一个子集A,事件“X在A中取值”即“X∈A”的概率为
P{X∈A}=∑Pn
特别的,如果一个试验所包含的事件只有两个,其概率分布为
P{X=x1}=p(0<p<1)
P{X=x2}=1-p=q
这种分布称为两点分布。 如果x1=1,x2=0,有
P{X=1}=p
P{X=0}=q
这时称X服从参数为p的0-1分布,它是离散型随机变量分布中最简单的一种。由于是数学家伯努利最先研究发现的,为了纪念他,我们也把服从这种分布的试验叫伯努利试验。习惯上,把伯努利的一种结果称为“成功”,另一种称为“失败”。
三、连续型随机变量的概率密度 定义2.3 对于随机变量X,如果存在一个非负可积函数f(x),-∞<x<+∞,使对于任意两个实数a,b(a<b)都有
P{a<X<b}=f(x)在a,b区域内的定积分 (由于排版水平过于低下,只有这样了,^o^)
则称X为连续型随机变量,称f(x)为X的概率分布密度函数,简称概率密度或分布密度,简记为X~f(x).
(1)f(x)≥0,对任何x∈(-∞,+∞)
(2)f(x)在(-∞,+∞)的区间内积分为1.
定义2.4 如果连续型随机变量X的概率密度f(x)为
①1/(b-a) a≤x≤b
②0 其他
则称X服从区间[a,b]上的均匀分布。
由定义可以看出服从均匀分布的随机变量,其概率密度函数在整个区间[a,b]上恒等于一个常数,并且这个常数就是该区间长度的倒数1/(b-a)。均匀分布是连续型随机变量中最简单的一种分布,也是常用的重要连续型分布之一。
四、随机变量的分布函数 离散型随机变量由其一切可能值和它取各个值的概率来描绘,连续型随机变量由概率密度函数来描绘。离散型和连续型,是实际中最重要的两类随机变量。但是除这两类随机变量外,还存在既不是离散型也不是连续型的随机变量。分布函数是概率论中重要的研究工具,它可以用于描绘包括离散型和连续型在内的一切类型的随机变量。 [Page]
定义2.5 设X是任意一个随机变量,称函数
F(x)=P{X<x},-∞<x<+∞
为随机变量X的分布函数。
F(x)包括下列性质:
1,0≤F(x)≤1 (-∞<x<+∞);
2,F(x)是x的单调不减函数;
3,F(-∞)=lim(x→-∞)F(x)=0, F(+∞)=lim(x→+∞)F(x)=1;
4,F(x)至多有可列个间断点,并且在其间断点处也是右连续的,即对于任何实数x,
F(x+0)=F(x)
五、随机变量的概率分布密度函数和分布函数的联系
1,对于离散型随机变量,P{X=xn}=pn,n=1,2,……
有F(x)=∑pn (xn≤x)
2,对于连续型随机变量,P{X=xn}=pn,-∞<n<+∞
有F’(x)=f(x)
注意要点:1,离散型分布和连续型分布的区别;
2,概率密度函数与分布函数的联系与区别。
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