质量工程师

中心极限定理

中心极限定理叙述了统计中的一个重要结论:多个相互独立随机变量的平均值 (仍然是一个随机变量)服从或近似服从正态分布。为介绍这个定理先要作一项准备。

(一) 随机变量的独立性

两个随机变量X1与X2相互独立是指其中一个的取值不影响另一个的取值，或者说是指两个随机变量独立地取值。比如，抛两颗骰子出现的点数记为X1与X2，则X1与X2是相互独立的随机变量。随机变量的相互独立性可以推广到三个或更多个随机变量上去。以下要用到一个假定:" ， ， ， 是n个相互独立且服从相同分布的随机变量"。这个假定有两个含义:

(1) ， ， ， 是n个相互独立的随机变量，如在生产线上随机取n个产品，它们的质量特性用 ， ， ， 表示，那么可认为 ， ， ， 是n个相互独立的随机变量。

(2) ， ， ， 有相同的分布，且分布中所含的参数也都相同，比如，都为正态分布，且都有相同均值和相同方差。又如，若都为指数分布，那么其中的参数也都相同。

(二)正态样本均值分布

定理2(中心极限定理) 设为n个相互独立同分布的随机变量，其共同分布不为正态或未知，

但其均值和方差都存在，则在n相当大时，样本均值近似服从正态分布。

这个定理表明:无论共同的分布是什么 (离散分布或连续分布，正态分布或非正态分布),只要独立同分布随机变量的个数n相当大， 的分布总近似于正态分布，这一结论是深刻的，也是重要的，这说明平均值运算常可从非正态分布获得正态分布。

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（责任编辑：lqh）

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