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2016高考数学专项练习:导数的综合应用

一、选择题

1.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0且g(3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)

A.(-3,0)(3，+∞)　　B.(-3,0)(0,3)

C.(-∞，-3)(3，+∞) D.(-∞，-3)(0,3)

答案：D　解题思路：因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h(x)=f(x)g(x)为奇函数，当x<0时，h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，所以h(x)在(-∞，0)为单调增函数，h(-3)=-h(3)=0，所以当x<0时，h(x)<0=h(-3)，解得x<-3，当x<0时，h(x)>0，解得-30时h(x)<0的x的取值范围为(0,3)，故选D.

2.若f(x)=x2-2x-4ln x，不等式f′(x)>0的解集记为p，关于x的不等式x2+(a-1)x-a>0的解集记为q，且p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)

A.(-2，-1] B.[-2，-1]

C. D.[-2，+∞)

答案：D　解题思路：对于命题p： f(x)=x2-2x-4ln x， f′(x)=2x-2-=，

由f′(x)>0，得 x>2.由p是q的充分不必要条件知，命题p的解集(2，+∞)是命题q不等式解集的子集，对于命题q：x2+(a-1)x-a>0(x+a)(x-1)>0，当a≥-1时，解集为(-∞，-a)(1，+∞)，显然符合题意;当a<-1时，解集为(-∞，1)(-a，+∞)，则由题意得-2≤a<-1.综上，实数a的取值范围是[-2，+∞)，故选D.

3.已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足=ax，且f′(x)g(x)

A.7　　　　B.6　　　　C.5　　　　D.4

答案：B　解题思路：由f′(x)g(x)

4.(河南适应测试)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x(-∞，0]时，f(x)=e-x-ex2+a，则函数f(x)在x=1处的切线方程为(　　)

A.x+y=0 B.ex-y+1-e=0

C.ex+y-1-e=0 D.x-y=0

答案：B　命题立意：本题考查了函数的奇偶性及函数的导数的应用，难度中等.

解题思路： 函数f(x)是R上的奇函数，

f(x)=-f(-x)，且f(0)=1+a=0，得a=-1，设x>0，则-x<0，则f(x)=-f(-x)=-(ex-ex2-1)=-ex+ex2+1，且f(1)=1，求导可得f′(x)=-ex+2ex，则f′(1)=e，

f(x)在x=1处的切线方程y-1=e(x-1)，即得ex-y+1-e=0，故应选B.

易错点拨：要注意函数中的隐含条件的挖掘，特别是一些变量的值及函数图象上的特殊点，避免出现遗漏性错误.

5.设二次函数f(x)=ax2-4bx+c，对x∈R，恒有f(x)≥0，其导数满足f′(0)<0，则的最大值为(　　)

A. B. C.0 D.1

答案：C　解题思路：本题考查基本不等式的应用.因为f(x)≥0恒成立，所以a>0且Δ=16b2-4ac≤0.又因为f′(x)=2ax-4b，而f′(0)<0，所以b>0，则==2-，又因4a+c≥2≥8b，所以≥2，故≤2-2=0，当且仅当4a=c，ac=4b2，即当a=b，c=4b时，取到最大值，其值为0.

技巧点拨：在运用均值不等式解决问题时，一定要注意“一正二定三等”，特别是要注意等号成立的条件是否满足.

6.已知函数f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)=f(x)-g(x)，则(　　)

A.h(1)

B.h(1)

C.h(0)

D.h(0)

答案：D　解题思路：本题考查函数及导函数的图象.取特殊值，令f(x)=x2，g(x)=x3，则h(0)

二、填空题

7.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y=f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.根据这一发现，则函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为________.

答案：　解题思路：由f(x)=x3-x2+3x-，得f′(x)=x2-x+3，f″(x)=2x-1，由f″(x)=0，解得x=，且f=1，所以此函数的对称中心为.

8.设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对所有的x≥0都有f(x)≥ax成立，则实数a的取值范围为________.

答案：(-∞，1]　解题思路：令g(x)=(1+x)ln(1+x)-ax，对函数g(x)求导数g′(x)=ln(1+x)+1-a，令g′(x)=0，解得x=ea-1-1.

当a≤1时，对所有x≥0，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，+∞)上是增函数.

又g(0)=0，所以对x≥0，有g(x)≥0，

即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax.

当a>1时，对于0

又g(0)=0，所以对0

所以，当a>1时，不是对所有的x≥0都有f(x)≥ax成立.

综上，a的取值范围为(-∞，1].

（责任编辑：gx）

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