高考

2016高考数学专项练习:平面向量、复数

A组

一、选择题

1.若复数z=m(m-1)+(m-1)(m-2)i是纯虚数，其中m是实数，i2=-1，则等于(　　)

A.　1　 　B.-　1　　C.　2 　　D.-2

答案：D　解题思路：因为复数z=m(m-1)+(m-1)·(m-2)i是纯虚数，所以m(m-1)=0且(m-1)(m-2)≠0，所以m=0，则==-.

2.设复数z=-i·sin θ，其中i为虚数单位，θR，则|z|的取值范围是(　　)

A.[1，3 ] B.[-1，3]

C.[1， 2] D.[1，4 ]

答案：D　命题立意：本题考查复数的运算及三角最值的求解，难度中等.

解题思路：据已知得，原式=1-i-isin θ=1-(1+sin θ)i，故|z|=[1， ]，当sin θ=-1,1时分别取得最小值与最大值.

3.(呼和浩特第一次统考)已知a=(1,2)，b=(-2，m)，若a∥b，则|2a+3b|等于(　　)

A. B.4 C.3 D.2

答案：B　命题立意：本题考查向量的坐标运算，难度中等.

解题思路：由a∥bm+4=0，解得m=-4，故2a+3b=2(1,2)+3(-2，-4)=(-4，-8)，因此|2a+3b|==4.

4.已知向量a，b是夹角为60°的两个单位向量，向量a+λb(λR)与向量a-2b垂直，则实数λ的值为(　　)

A.1 B.-1 C.2 D.0

答案：D　命题立意：本题主要考查平面向量数量积的运算与平面向量垂直的坐标运算.

解题思路：由题意可知a·b=|a||b|cos 60°=，而(a+λb)(a-2b)，故(a+λb)·(a-2b)=0，即a2+λa·b-2a·b-2λb2=0，从而可得1+-1-2λ=0，即λ=0.

5.已知A，B是单位圆上的动点，且|AB|=，单位圆的圆心为O，则·=(　　)

A.- B.

C.- D.

答案：C　命题立意：本题以单位圆为依托，考查平面向量的数量积、平面向量的基本定理.

解题思路：由题意知，单位圆的弦AB所对的圆心角AOB=120°，故·=·(-)=·-2=1×1×cos 120°-1=-.故选C.

6.定义一种运算如下：=x1y2-x2y1，复数z=(i是虚数单位)的共轭复数是(　　)

A.-1+(-1)i B.-1-(-1)i

C.+1+(+1)i D.+1-(+1)i

答案：B　命题立意：考查对新概念的理解及复数的运算，难度中等.

解题思路：由题意，得z=(+i)i-(-1)(-i)=-1+(-1)i， 共轭复数是-1-(-1)i，故选B.

易错点拨：注意分析新定义的运算规则中字母的顺序.

7.在直角坐标系中，A(3,1)，B(-3，-3)，C(1,4)，P是和夹角平分线上的一点，且||=2，则的坐标是(　　)

A. B.(-，)

C. D.(-，1)

答案：A　命题立意：本题考查向量的线性运算与坐标运算，正确地表示出的线性表达式是解答本题的关键，难度中等.

解题思路：因为=(-6，-4)，=(-2,3)，由点P是角平分线上的一点，故=λ=λ=λ，即||2=λ2×=2λ2=4，解得λ=，故==，故选A.

8.在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为矩形内一点，且AP=.若=λ+μ(λ，μR)，则λ+μ的最大值为(　　)

A. B.

C. D.

答案：B　命题立意：本题考查向量数量积的运算及均值不等式的应用，难度中等.

解题思路：据已知||2=(λ+μ)22=λ2+3μ2，整理变形得(λ+μ)2-2λμ=，据均值不等式可得(λ+μ)2-22≤，解得λ+μ≤，故选B.

9.已知ABC中，AB=AC=2，BC=2，点P为边BC所在直线上的一个动点，则关于·(+)的值，正确的是(　　)

A.最大值为4 B.为定值2

C.最小值为1 D.与P的位置有关

答案：B　命题立意：本题考查向量的运算，难度中等.

解题思路：利用向量的运算法则求解.取BC的中点D，连接AD，则·(+)=2·=2||2=2，故选B.

举一反三：平面几何图形中的向量问题要充分应用图象的几何特征，一般解法有建系法和基底法两种.

10.对于单位向量a1，a2，“a1=”是“a1+a2=(，1)”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

答案：B　命题立意：本题考查了平面向量的概念及坐标运算公式、充要条件的判断问题，属推理与分析能力考查题型，难度较大.

解题思路： a1，a2均为单位向量，若a1+a2=(，1)，则a1=a2=，反之，若a1=，则a1+a2=(，1)不一定成立，由此可得“a1=”是“a1+a2=(，1)”的必要不充分条件，故选B.

易错点拨：充要条件的判断需要通过命题的正反角度分别推理，正确判断两个命题的真假方可得出正确的结论.

二、填空题

11.已知向量a=(k，-2)，b=(2,2)，a+b为非零向量，若a(a+b)，则k=________.

答案：0　命题立意：本题考查向量的坐标运算与数量积，难度中等.

解题思路：依题意得a+b=(k+2,0)≠0，即k+2≠0，(a+b)·a=k(k+2)=0，因此k=0.

12.如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=4，点E为BC的中点，点F在边CD上.若·=2，则·的值是________.

答案：6　命题立意：本题主要考查平面向量的坐标运算，意在考查考生的运算能力.

解题思路：以B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则由题意知A(0,2)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,2)，E(2,0)，设F(4，m)，其中0≤m≤2，则=(0，-2)，=(4，m-2).

·=2，

-2(m-2)=2， m=1，

F(4,1)，=(4,1).

又 =(2，-2)， ·=8-2=6.

13.在ABC中，B=60°，O为ABC的外心，P为劣弧AC上一动点，且=x+y(x，yR)，则x+y的取值范围为________.

答案：[1,2]　命题立意：本题考查向量的数量积运算及均值不等式的应用，难度中等.

解题思路：据已知得2=x22+2xy·+y22，即1=x2+y2-xy=(x+y)2-3xy，x+y=，由P为劣弧AC上一动点知x≥0且y≥0(等号不能同时取得)，从而x+y≥1(x，y中恰有一个为0时取等号).又据均值不等式得x+y=≤(x>0，y>0)，解得0

14.设G为ABC的重心，若ABC所在平面内一点P满足+2+2=0，则的值等于________.

答案：2　命题立意：本题考查平面向量的线性运算及数形结合思想，难度中等.

解题思路：取BC的中点D，由已知+2+2=0得=2(+)=4，说明P，A，D三点共线，即点P在BC边的中线上，且||=4||，如图所示，故|A|=|A|，||=|A|，因此=×=2.

15.(东北四市二次联考)对于命题：

若O是线段AB上一点，则有||·+||·=0.

将它类比到平面的情形是：

若O是ABC内一点，则有SOBC·+SO CA·+SOBA·=0.

将它类比到空间的情况应该是：

若O是四面体ABCD内一点，则有_________________________.

答案：VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0

命题立意：本题考查了类比推理及推理证明问题，从平面到空间的类比推理是新课标高考中常见的类比推理题型的命题方式.

解题思路：由线段到平面，线段的长类比为面积，由平面到空间，面积可类比为体积，由此可以类比得一命题为，若O是四面体ABCD内一点，则有VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0.

（责任编辑：gx）

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